Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff

I. Einführung.- § 1. Spiegelungen in der euklidischen Ebene.- 1. Involutorische Bewegungen S. 2..- 2. Darstellung der Bewegungen durch Spiegelungsprodukte S. 3..- 3. Das Bewegen von Bewegungen (Transformieren) S. 9..- 4. Formulierung geometrischer Beziehungen in der Bewegungsgruppe S. 11..- 5. Beweis einiger Sätze durch Rechnen mit Spiegelungen S. 13..- §2. Der Begriff der metrischen Ebene.- 1. Modelle der stetigen elliptischen Ebene S. 19..- 2. Das Kleinsche Modell der stetigen hyperbolischen Ebene S. 22..- 3. Metrische Ebenen S. 24..- 4. Formulierung der ebenen metrischen Geometrie in der Bewegungsgruppe S. 26..- 5. Beweise S. 29..- II. Metrische (absolute) Geometrie.- § 3. Das Axiomensystem der metrischen (absoluten) Geometrie.- 1. Involutorische Elemente einer Gruppe. Grundrelationen S. 32..- 2. Axiomensystem S. 33..- 3. Gruppenebene. Bewegungen der Gruppenebene S. 34..- 4. Erste Folgerungen aus dem Axiomensystem S. 37..- 5. Das Im-Büschel-Liegen S. 40..- 6. Lotensatz S. 42..- 7. Darstellung einer Bewegung S. 44..- 8. Gerade und ungerade Bewegungen. Axiom vom Polardreiseit S. 46..- 9. Punkt-Geraden-Analogie S. 48..- 10. Fixgeraden und Fixpunkte einer Bewegung S. 51..- 11. Existenz von Punkten und Geraden S. 55..- § 4. Sätze der metrischen Geometrie.- 1. Mittelsenkrechtensatz S. 56..- 2. Höhensatz S. 57..- 3. Fußpunktsatz S. 59..- 4. Transitivitätssatz S. 62..- 5. Geradenbüschel S. 64..- 6. Winkelhalbierendensatz S. 67..- 7. Lemma von den neun Geraden S. 67..- 8. Gegenpaarung S. 68..- 9. Satz von Pappus-Brianchon S. 71..- 10. Seitenhalbierendensatz S. 74..- § 5. Projektive und projektiv-metrische Ebenen.- 1. Projektive Ebenen S. 76..- 2. Projektive Geometrie der eindimensionalen Grundgebilde S. 82..- 3. Ebene projektive Kollineationen S. 85..- 4. Korrelationen, Polaritäten S. 88..- 5. Projektiv-metrische Ebenen S. 89..- 6. Die Rechtwinkelinvolution S. 91..- § 6. Begründung der metrischen Geometrie.- 1. Halbdrehungen der Geraden S. 94..- 2. Die durch Halbdrehungen bewirkten Büschelabbildungen S. 97..- 3. Zur Definition der Halbdrehung S. 99..- 4. Erweiterung der Gruppenebene zur Idealebene S. 101..- 5. Die Idealebene einer Bewegungsgruppe S. 103..- 6. Die von den Halbdrehungen um einen Idealpunkt erzeugte Gruppe S. 107..- 7. Die Axiome der euklidischen und der nichteuklidischen Metrik S. 109..- 8. Metrisch-euklidische Ebenen S. 110..- 9. Die absolute Polar-Involution in der Idealebene einer metrisch-euklidischen Bewegungsgruppe S. 114..- 10. Die absolute Polarität in der Idealebene einer metrisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppe S. 115..- 11. Haupt - Theorem S. 120..- 12. Euklidische und elliptische Bewegungsgruppen S. 121..- Note über freie Beweglichkeit.- § 7. Über das Transitivitätsgesetz für beliebige involutorische Elemente.- 1. Gesetze über beliebige involutorische Elemente, welche in den metrisch-nichteuklidischen Bewegungsgruppen gelten S. 127..- 2. Über die axiomatische Kennzeichnung der elliptischen Bewegungsgruppen S. 130..- 3. Büschel von involutorischen Elementen S. 132..- 4. Zwei-spiegelige Gruppen, in denen das Transitivitätsgesetz gilt S. 133..- 5. Die Thomsen -Relation S. 135..- Note über die Algebraisierung der affinen und projektiven Ebenen.- III. Projektiv-metrische Geometrie.- § 8. Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.- 1. Projektive und projektiv-metrische Koordinatenebenen S. 141..- 2. Vektorräume S. 144..- 3. Metrische Vektorräume und orthogonale Gruppen S. 146..- 4. Projektiv-metrische Ebenen und metrische Vektorräume S. 151..- 5. Über den Satz von den drei Spiegelungen S. 154..- § 9. Orthogonale Gruppen.- 1. Überblick S. 157..- 2. Ein Lemma S. 159..- 3. Die Gruppen O3+ (K, F) mit binärer nullteiliger Form S. 160..- 4. Die Gruppen O3+ (K, F) mit binärer nullteiliger Form als euklidische Bewegungsgruppen S. 163..- 5. Die Gruppen O3+ (K,F)mit ternärer nullteiliger Form S. 164..- 6. Die Gruppen O3+ (K,F)mit ternärer nullteiliger Form als elliptische Bewegungsgruppen S. 165..- 7. Die Gruppen O3+ (K,F) mit beliebiger ternärer Form S. 166..- 8. Gesetze über die involutorischen Elemente der Gruppe O3+ (K, F) mit ternärer, nicht nullteiliger Form S. 168..- §10. Darstellung metrischer Vektorräume und ihrer orthogonalen Gruppen mit Hilfe hyperkomplexer Systeme.- 1. Normierte ternäre Formen S. 170..- 2. Quaternionen S. 174..- 3. Die Norm einer eigentlich-orthogonalen Transformation S. 178..- 4. Zweireihige Matrizen über K. Die lineare Gruppe L2(K) S. 180..- 5. Konstruktion metrisch-nichteuklidischer Bewegungsgruppen S. 183..- §11. Die Bewegungsgruppen der hyperbolischen projektiv-metrischen Ebenen als abstrakte, aus ihren involutorischen Elementen erzeugte Gruppen (H-Gruppen).- 1. Das Axiomensystem der H-Gruppen S. 187..- 2. Büschel von involutorischen Elementen. Folgerungen aus der Grundannahme und Axiom T S. 188..- 3. Enden. Folgerungen aus den Axiomen ~V, UV1, UV2 S. 189..- 4. Endenrechnung S. 191..- 5. Darstellung durch gebrochen-lineare Transformationen S. 195..- 6. Zusammenfassung S. 198..- 7. Eine spezielle Klasse von involutorischen Elementen der H-Gruppen S. 198..- IV. Euklidische Geometrie.- §12. Der Satz von Paapus -Pascal in der euklidischen Geometrie.- 1. Axiome und erste Folgerungen S. 201..- 2. Hilfssätze über parallele Geraden S. 202..- 3. Sechs Beweise des Satzes von Pappus-Pascal S. 205..- §13. Algebraische Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen.- 1. Darstellung der euklidischen Bewegungsgruppen als Bewegungsgruppen euklidischer Koordinatenebenen S. 210..- 2. Spezielle euklidische Bewegungsgruppen S. 215..- V. Hyperbolische Geometrie.- §14. Hyperbolische Bewegungsgruppen.- 1. Die Axiome der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 219..- 2. Enden S. 221..- 3. Das Bergausche Lemma vom Ende S. 222..- 4. Verbindbarkeit der Enden S. 224..- 5. Hyperbolische Bewegungsgruppen und H-Gruppen S. 226..- 6. Forderungen, die mit dem hyperbolischen Axiom H äquivalent sind S. 229..- §15. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen durch binäre lineare Gruppen.- 1. Darstellung der hyperbolischen Bewegungsgruppen S. 231..- 2. Hyperbolische Bewegungsgruppen, in denen jede Gerade Enden angehört S. 236..- VI. Elliptische Geometrie.- §16. Begründung der elliptischen Geometrie.- 1. Elliptische Bewegungsgruppen und ihre Gruppenebenen S. 239..- 2. Der Satz von Paapus -Pascal S. 241..- 3. Darstellung einer elliptischen Bewegungsgruppe als Bewegungsgruppe einer projektiv-metrischen Ebene S. 243..- §17. Der Gruppenraum einer elliptischen Bewegungsgruppe.- 1. Büschel und Drehgruppen S. 244..- 2. Räumliche projektive Inzidenzaxiome S. 245..- 3. Der Gruppenraum S. 246..- 4. Rechtsund Linksparallelismus. Cliffordsche Flächen S. 250..- 5. Beweis des Satzes von Paapus -Pascal aus räumlichen Tatsachen S. 252..- 6. Die Quadrate in einer elliptischen Bewegungsgruppe. Das Beweglichkeitsaxiom S. 256..- 7. Bewegungen des Gruppenraumes S. 259..- 8. Erzeugbarkeit von Clifford-Flächen durch Rotation S. 262..- 9. Halbdrehungen in der Gruppenebene und Schiebungen im Gruppenraum S. 265..- 10. Deutung des Gruppenraumes in der Gruppenebene S. 268..- 11. Ein Satz von Baer S. 271..- §18. Über die metrischen Bewegungsgruppen.- 1. Über verschiedene Erzeugendensysteme derselben Gruppe S. 275..- 2. Die projektiv-metrischen Bewegungsgruppen S. 277..- 3. Die vollständigen metrischen Bewegungsgruppen S. 277..- 4. Metrische Unter-Bewegungsgruppen S. 278..- 5. Zugehörige metrische Unter-Bewegungsgruppen S. 279..- 6. Beispiele S. 280..- §19. Metrisch-euklidische Ebenen.- 1. Geometrische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen S. 286..- 2. Algebraische Kennzeichnung metrisch-euklidischer Teilebenen S. 288..- 3. Metrisch-euklidische Teilebenen mit freier Beweglichkeit S. 293..- 4. Metrisch-euklidische Unter-Bewegungsgruppen S. 295..- Literatur.- Zusammenstellung besonderer Zeichen.- Axiomentafel.- Anmerkungen.- 1. Axiomensystem der metrischen Ebenen S. 305..- 2. Höhensatz S. 305..- 3. Gegenpaarungssatz S. 306..- 4. Rechtseitsatz S. 306..- 5. Zur Definition der Idealgeraden und der absoluten Polarität in der Idealebene S. 307..- 7. Elliptische Geometrie S. 310..- 8. Zum Begriff,,total ganzzahlig-einschließbar” S. 310..- Supplement.- § 20. Ergänzungen und Hinweise auf die Literatur.- 1. Involutorisch erzeugte Gruppen S. 313..- 2. Geometrie involutorischer Gruppenelemente S. 314..- 3. Axiomensystem der ebenen absoluten Geometrie S. 318..- 4. Kleine Axiome, Axiomensystem des Senkrechtstehens, Hjelmslev-Gruppen S. 318..- 5. Nicht-elliptische Hjelmslev-Gruppen S. 323..- 6. Minkowskische Gruppen S. 328..- 8. Orthogonale und projektiv-orthogonale Gruppen S. 333..- 10. Eigentlichkeitsbereiche und vollständige Spiegelungsgruppen metrischer Vektorräume S. 338..- 11. Gruppentheoretische Kennzeichnung orthogonaler Gruppen S. 340..- 12. Kinematische Räume S. 342..- 13. Hilbert-Ebenen S. 345..- 14. Modelle der absoluten Geometrie S. 349..- 15. Der Satz von der dritten Quasispiegelung S. 354..- Neuere Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.