Nichtlineare Finite-Element-Methoden

1. Einleitung.- 2. Nichtlineare Phänomene.- 2.1 Geomet rische Nichtlinearität.- 2.1.1 Große Verschiebungen eines starren Balkens.- 2.1.2 Große Verschiebungen eines elast ischen Systems.- 2.1.3 Verzweigungsproblem.- 2.1.4 Durchschlagproblem.- 2.2 Physikalische Nichtlinearität.- 2.3 Nichtlinearität infolge von Randbedingungen.- 3. Kontinuumsmechanische Grundgleichungen.- 3.1. Kinematik.- 3.1.1 Bewegung, Deformationsgradient.- 3.1.2 Verzerrungsmaße.- 3.1.3 Transformation von Vektoren und Tensoren.- 3.1.4 Zeitableitungen.- 3.2 Bilanzgleichungen.- 3.2.1 Volumenbilanz.- 3.2.2 Lokale Impulsbilanz, Drallbilanz.- 3.2.3 1. Hauptsatz der Thermodynamik.- 3.2.4 Umrechnung auf die Ausgangskonfiguration, verschiedene Spannungstensoren.- 3.2.5 Zeitableitungen der Spannungstensoren.- 3.3 Materialgleichungen.- 3.3.1 Elastisches Materialverhalten.- 3.3.2 Elasto-plastische Materialgesetze.- 3.3.3 Viskoelastisches und viskoplastisches Materialverhalten.- 3.3.4 Inkrementelle Form der Materialgleichungen.- 3.4 Schwache Form des Gleichgewichts, Variationsprinzipien.- 3.4.1 Schwache Formulierung des Gleichgewichts in der Ausgangskonfiguration.- 3.4.2 Räumliche schwache Formulierung des Gleichgewichtes.- 3.4.3 Variationsprinzipien.- 3.5 Linearisierungen.- 3.5.1 Linearisierung der kinematischen Größen.- 3.5.2 Linearisierung der Materialgleichungen.- 3.5.3 Linearisierung der Variationsformulierung.- 4. Räumliche Diskretisierung der Grundgleichungen.- 4.1 Generelles isoparametrisches Konzept.- 4.1.1 Eindimensionale Ansätze.- 4.1.2 Zweidimensionale Ansätze.- 4.1.3 Dreidimensionale Ansätze.- 4.2 Diskretisierung der Grundgleichungen.- 4.2.1 FE-Formulierung der schwachen Form bezogen auf die Ausgangskonfiguration.- 4.2.2 Linearisierung der schwachen Form in der Ausgangskonfiguration.- 4.2.3 FE-Formulierung der schwachen Form bezüglich der Momentankonfiguration.- 4.2.4 Linearisierung der schwachen Form in der Momentankonfiguration.- 4.2.5 Verformungsabhängige Lasten.- 5. Lösungsverfahren für zeitunabhängige Probleme.- 5.1 Lösung nichtlinarer Gleichungssysteme.- 5.1.1 Newton-Raphson-Verfahren.- 5.1.2 Modifiziertes Newton-Verfahren.- 5.1.3 Quasi-Newton-Verfahren.- 5.1.4 Gëdampftes Newton Verfahren, Line-Search.- 5.1.5 Bogenlängenverfahren.- 5.2 Löser für lineare Gleichungssy steme.- 5.2.1 Direkte Gleichungslöser.- 5.2.2 Iterative Cleichungslöser.- 5.2.3 Parallele Gleichungslöser.- 5.3 Beispielezu den Algorithmen und Cleichungslosem.- 6. Lösungsverfahren für zeitabhängige Probleme.- 6.1 Integration der Bewegungsgleichungen.- 6.1.1 Explizite Verfahren.- 6.1.2 Irnplizite Verfahren.- 6.1.3 Impuls-, drall- und energieerhaltende Algorithmen.- 6.1.4 Numerische Beispiele.- 6.2 Integration inelastischer Materialgleichungen beikleinen Deformationen.- 6.2.1 Viskoelastisches Materialverhalten.- 6.2.2 Elasto-plastisches Materialienverhalten.- 6.2.3 Elasto-viskoplastisches Materialverhalten.- 6.3 Integration der Materialgleichungen bei großen Deformationen.- 6.3.1 Allgemeine implizite Integration.- 6.3.2 Implizite Integration mit Bezug auf Hauptachsen.- 6.3.3 Konsistenter Tangentenmodul.- 7. Stabilitätsproblerne.- 7.1 Vorbemerkungen.- 7.1.1 Klassische und lineare Beulanalyse.- 7.1.2 Nichtlineare Stabilitätsuntersuchungen.- 7.2 Direkte Berechnung von Stabilitätspunkten.- 7.2.1 Formulierung eines erweiterten Systems.- 7.2.2 Berechnung der Richtungsableitung von KT.- 7.2.3 Beispiel: Verzweigungspunkt eines Bogenträgers.- 7.3 Algorithmus für nichtlineare Stabilitätsprobleme.- 8. Adaptive Verfahren.- 8.1 Randwertproblem und Diskretisierung.- 8.1.1 Randwertproblem für finite Elastizität.- 8.1.2 Das linearisierte Randwertproblem.- 8.1.3 Diskret isierung.- 8.2 Fehlerschätzer und -indikatoren.- 8.2.1 Fehlerschätzung bei nichtlinearen Problemen.- 8.2.2 Residuenbasierter Fehlerschätzer.- 8.2.3 Fehlerindikator basierend auf der Z2-Methode.- 8.2.4 Fehlerestimatoren basierend auf dualen Methoden.- 8.3 Fehlerschätzung für Plastizität.- 8.4 Netzverfeinerung.- 8.5 Adaptive Netzgenerierung.- 8.5.1 Netzerzeugung.- 8.5.2 Transfer der Geschichtsdaten.- 8.6 Beispiele.- 8.6.1 Kontaktproblem nach Hertz.- 8.6.2 Elastoplastische Deformation einer Zylinderschale.- 9. Spezielle Strukturelemente.- 9.1 Nichtlineares Fachwerkelement.- 9.1.1 Kinematik und Verzerrungen.- 9.1.2 Materialgleichungen für den Fachwerkstab.- 9.1.3 Variationsformulierung und Linearisierung.- 9.1.4 Finite-Element-Modell.- 9.2 Zweidimensionales geometrisch exaktes Balkenelement.- 9.2.1 Kinematik.- 9.2.2 Schwache Form des Gleichgewichtes.- 9.2.3 Materialgleichungen.- 9.2.4 FE-Formulierung.- 9.2.5 Beispiel.- 9.2.6 Zusammenfassung.- 9.3 Rotationssymmetrisches Schalenelement.- 9.3.1 Kinematik und Verzerrungen der rotationssymmetrischen Schale.- 9.3.2 Variationsformulierung.- 9.3.3 Materialgleichungen.- 9.3.4 Finite-Element-Formulierung.- 9.4 Allgemeine Schalenelemente.- 9.4.1 Vorbemerkungen.- 9.4.2 Kinematik.- 9.4.3 Parametrisierung der Rotationen.- 9.4.4 Schwache Form.- 9.4.5 Materialgleichungen für die Schale.- 9.4.6 Finite-Element-Formulierung für das 5-Parameter Modell.- 9.4.7 Schalenverschneidungen.- 9.5 Beispiele.- 9.5.1 Biegung eines Kragträgers.- 9.5.2 Aufblasvorgang einer quadratischen Platte.- 9.5.3 Zylinder unter Einzellast.- 9.5.4 Abschließlende Bernerkungen.- 10. Spezielle Kontinuumselemente.- 10.1 Anforderungen an Kontinuumselemente.- 10.2 Gemischte Elemente für Inkompressibilität.- 10.2.1 Gemischtes Q1-PO Element.- 10.2.2 Linearisierung des Q1-PO Elementes.- 10.3 Stabilisierte finite Elemente.- 10.3.1 Stabilisierungsvektoren.- 10.3.2 Schwache Form und Linearisierung.- 10.4 Enhanced Strain Element.- 10.4.1 Generelle Vorgehensweise, klassische Formulierung.- 10.4.2 Diskretisierung.- 10.4.3 Kombinationaus enhanced Formulierung und hourglass Stabilisierung.- 10.4.4 Instabilitäten bei den enhanced Elementen.- 10.4.5 Stabilisierung der enhanced Formulierung.- 10.4.6 Spezielle Interpolation der enhanced Modes.- 11. Kontaktprobleme.- 1l.1 Kontaktkinernatik.- 11.2 Konstitutive Gleichungen in der Kontaktzone.- 11.2.1 Normalkontakt.- 11.2.2 Tangentialkontakt.- 11.3 Schwache Formulierung.- 11.4 Diskretisierung.- 11.4.1 NTS-Diskretisierung.- 11.4.2 Matrizenform des Kontaktresiduums.- 11.4.3 Integration des Reibgesetzes.- 11.4.4 Algorithmen.- 11.4.5 Linearisierung des Kontaktresiduums.- A. Tensorrechnung.- A.l Tensoralgebra.- A.1.l Definition eines Tensors.- A.1.2 Basisdarstellung von Vektoren und Tensoren.- A.1.3 Produkte von Vektoren und Tensoren.- A.1.4 Spezielle Formen von Tensoren.- A.1.5 Eigenwerte und Invarianten von Tensoren.- A.1.6 Tensoren höherer Stufe.- A.2 Tensoranalysis.- A.2.1 Differentiation nach einer reellen Variablen.- A.2.2 Gradientenbildung eines Feldes.- A.2.3 Divergenzbildung eines Feldes.- A.2.4 Rotation eines Vektorfeldes.- A.2.5 Ableitung der Invarianten nach einem Tensor.- A.2.6 Pull back und push forward Operationen.- A.2.7 Lie-Ableitung von Spannungstensoren.- A.2.8 Integralsätze.- Literatur.