Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure

1 Grundlagen.- 1.1 Mengen und ihre Verknüpfungen.- 1.2 Aussagen und Quantoren.- 1.3 Abbildungen und ihre Eigenschaften.- 1.4 Die reellen Zahlen.- 1.4.1 Axiome und erste Folgerungen.- 1.4.2 „Bruchrechnen“.- 1.4.3 Das Rechnen mit Ungleichungen und absoluten Beträgen.- 1.5 Die natürlichen und die ganzen Zahlen.- 1.5.1 Vollständige Induktion, rekursive Definition.- 1.5.2 Binomial-Koeffizienten, Binomischer Satz.- 1.6 Die rationalen Zahlen.- 1.7 Zum Vollständigkeitsaxiom.- 1.8 Darstellungen reeller Zahlen.- 1.9 Komplexe Zahlen.- 1.9.1 Einführung der komplexen Zahlen.- 1.9.2 Konjugiert komplexe Zahlen, Beträge, Real- und Imaginärteil.- 1.10 ,Stetigkeit‘ der Grundoperationen (in ? und ?).- 2 Funktionen einer reellen Variablen.- 2.1 Der Funktionsbegriff.- 2.1.1 Definition und erste Beispiele.- 2.1.2 Graphische Darstellung von Funktionen.- 2.1.3 Grundeigenschaften von Funktionen.- 2.1.4 Verknüpfung von Funktionen.- 2.2 Ganzrationale Funktionen (Polynome).- 2.2.1 Das HORNER-Schema.- 2.2.2 Stellenwertsysteme.- 2.2.3 Das Rechnen mit Polynomen.- 2.2.4 Nullstellen von Polynomen.- 2.3 (Gebrochen) Rationale Funktionen.- 3 Folgen, Reihen — GrenzwertbegrifF, Stetigkeit.- 3.1 Folgen.- 3.1.1 Definitionen.- 3.1.2 Konvergenz von Folgen.- 3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten (Grundregeln).- 3.1.4 Bestimmte Divergenz.- 3.1.5 C AUCH Y-Kriterium.- 3.2 Reihen.- 3.2.1 Definitionen und erste Beispiele.- 3.2.2 Das Rechnen mit Reihen.- 3.2.3 Absolut konvergente Reihen.- 3.2.4 Konvergenzkriterien (für absolute Konvergenz).- 3.2.5 Alternierende Reihen, LEIBNIZ-Kriterium.- 3.3 Potenzreihen.- 3.3.1 Definition, Konvergenzradius.- 3.3.2 Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos — Teil I.- 3.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit.- 3.4.1 Grenzwerte von Funktionen.- 3.4.2 Stetigkeit, Zwischenwertsatz.- 3.4.3Unstetigkeiten.- 4 Differentialrechnung.- 4.1 Die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten.- 4.2 Differentiationsregeln (Ableitungskalkül).- 4.3 Beispiele.- 4.4 Satz von ROLLE und verallgemeinerter Mittelwertsatz; lokales Verhalten.- 4.5 Differentiation von Potenzreihen.- 4.6 Die Funktionen exp, sin, cos, Sin, Cos — Teil II.- 4.7 Die Funktionen tan, cot, Tan, Cot.- 4.8 Differentiation der Umkehrfunktion.- 4.9 Höhere Ableitungen.- 4.10 Konvexität, Konkavität.- 4.11 Anwendungen.- 4.11.1 Kurvenuntersuchungen.- 4.11.2 Extremwertaufgaben.- 4.12 Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen.- 5 Integralrechnung.- 5.1 Stammfunktionen (unbestimmte Integrale).- 5.1.1 Grundlagen.- 5.1.2 Integraltafel (Tabelle von Stammfunktionen).- 5.1.3 Integration rationaler Funktionen.- 5.1.4 Integration gewisser algebraischer Funktionen.- 5.1.5 Integration gewisser transzendenter Funktionen.- 5.2 Bestimmtes Integral, Flächeninhalt.- 5.2.1 Vorüber legungen zum Flächeninhalt.- 5.2.2 Definition des bestimmten Integrals („RIEMANN- Integral“).- 5.2.3 Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 5.2.4 Anwendungsbeispiele (Orthogonalitätsrelationen der trigonometrischen Funktionen, LEiBNizsche Sektor-formel, Volumenberechnung von Rotationskörpern).- 5.3 Uneigentliche Integrale.- 5.3.1Definition des uneigentlichen Integrals.- 5.3.2 Absolute Integrierbarkeit; Majorantenkriterium.- 5.3.3 Zusammenhang mit der Konvergenz von Reihen.- 5.3.4 Die T-Funktion.- 5.4 Elementare Methoden zur numerischen Berechnung von Integralen.- 5.4.1 Trapez- und SIMPSON-Regel.- 5.4.2 Zusammengesetzte Formeln.- 6 Approximation von Funktionen.- 6.1 Polynom-Interpolation.- 6.2 TAYLOR-Reihen.- 6.3 Unbestimmte Ausdrücke, Regeln von DE L’HOPITAL.- 6.4 FOURIER-Reihen.- 7 Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGLn).- 7.1 Richtungsfelder (für explizite DGLn 1. Ordnung).- 7.2 DGLn mit „getrennten Variablen“.- 7.3 Die lineare DGL 1. Ordnung.- 7.4 BERNOULLische DGL.- 7.5 EuLER-homogene DGLn.- 7.6 Explizite DGLn 2. Ordnung ,ohne y’.- 7.7 Explizite DGLn 2. Ordnung ,ohne x’.- 7.8Lineare DGLn n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 7.8.1 Allgemeine Lösung der homogenen DGL.- 7.8.2 Reelle Lösungen zu komplexen Nullstellen.- 7.8.3 Spezialfall n = 2.- 7.8.4 Lösung der inhomogenen DGL.- 8 Differenzenrechnung und Differenzengleichungen.- 8.1 Differenzenoperator.- 8.2 Höhere Differenzen.- 8.3 Faktorielle.- 8.4 (Gewöhnliche) Differenzengleichungen.- 8.5 Lineare Differenzengleichungen.- 8.6 Lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung.- 8.7 Lineare DZGn mit konstanten Koeffizienten, Operatormethoden.- 8.8 Inhomogene Differenzengleichungen.- 9 Funktionen mehrerer Variabler.- 9.1 Der ?n als normierter Vektorraum.- 9.2 ,Geometrie‘ ?-wertiger Funktionen.- (Graphen, Niveaumengen, Vertikalschnitte).- 9.3 Folgenkonvergenz, Grenzwert (von Funktionen) und Stetigkeit.- 9.4 (,Totale‘) Differenzierbarkeit, partielle Differenzierbarkeit.- 9.5 Partielle Ableitungen höherer Ordnung, Satz von SCHWARZ.- 9.6 Satz von TAYLOR, Fehlerfortpflanzung, HESSEsche Matrix.- 9.7 Extremwerte (Notwendige und hinreichende Bedingungen).- 9.8 Satz über implizite Funktionen, Extrema unter Nebenbedingungen (LAGRANGE-Multiplikatoren).- 10 Übungen.- 10.1 Übungen zu Kapitel 1.- 10.2 Übungen zu Kapitel 2.- 10.3 Übungen zu Kapitel 3.- 10.4 Übungen zu Kapitel 4.- 10.5 Übungen zu Kapitel 5.- 10.6 Übungen zu Kapitel 6.- 10.7 Übungen zu Kapitel 7.- 10.8 Übungen zu Kapitel 8.- 10.9 Übungen zu Kapitel 9.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.