Höhere Mathematik

1. Zahlen und Vektoren.- §1. Mengen und Abbildungen.- 1.1 Mengen.- 1.2 Mengenoperationen.- 1.3 Abbildungen.- §2. Die reellen Zahlen.- 2.1 Bezeichnungen.- 2.2 Ungleichungen.- 2.3 Intervalle.- 2.4 Schranken.- 2.5 Der Betrag.- 2.6 Die vollständige Induktion.- 2.7 Binomialkoeffizienten und die binomische Formel.- Aufgaben.- §3. Die Ebene.- 3.1 Kartesische Koordinatensysteme.- 3.2 Winkel.- 3.3 Sinus, Cosinus.- 3.4 Drehungen.- §4. Vektoren.- 4.1 Kartesische Koordinatensysteme im Raum.- 4.2 Vektoren.- 4.3 Die Addition von Vektoren.- 4.4 Die skalaren Vielfachen eines Vektors.- 4.5 Der Betrag.- 4.6 Vektoren im Koordinatensystem.- §5. Produkte.- 5.1 Der Winkel zwischen zwei Vektoren.- 5.2 Das Skalarprodukt.- 5.3 Das Vektorprodukt.- 5.4 Das Spatprodukt.- Aufgaben.- §6. Geraden und Ebenen.- 6.1 Parameterdarstellungen einer Geraden.- 6.2 Die Koordinatengleichungen einer Geraden.- 6.3 Die Momentengleichung der Geraden.- 6.4 Abstand Punkt-Gerade.- 6.5 Abstand Gerade-Gerade.- 6.6 Parameterdarstellungen einer Ebene.- 6.7 Parameterfreie Darstellungen einer Ebene.- 6.8 Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen.- 6.9 Die Winkel zwischen zwei Ebenen und zwischen einer Ebene und einer Geraden.- Aufgaben.- §7. Gebundene Vektoren.- 7.1 Gebundene Vektoren.- 7.2 Ein System gebundener Vektoren.- 7.3 Die Reduktion eines Systems gebundener Vektoren.- Aufgaben.- §8. Die komplexen Zahlen.- 8.1 Die Menge der komplexen Zahlen.- 8.2 Die vier Grundrechenarten in ?.- 8.3 Die Konjugation und der Betrag komplexer Zahlen.- 8.4 Anwendungen.- 2. Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit.- §1. Funktionen (Grundbegriffe).- 1.1 Funktionen.- 1.2 Monotonie.- 1.3 Das Rechnen mit Funktionen.- §2. Polynome und rationale Funktionen.- 2.1 Polynome.- 2.2 Polynomnullstellen - Faktorisierung.- 2.3 Polynom-interpolation.- 2.4 Der Graph.- 2.5 Rationale Funktionen, Polynomdivision.- 2.6 Der Definitionsbereich D.- 2.7 Ergänzung: Polynome über ?.- Aufgaben.- §3. Die Kreisfunktionen.- 3.1 Definition und einfache Eigenschaften.- 3.2 Die Tangens- und Cotangensfunktion.- 3.3 Die Polardarstellung komplexer Zahlen.- 3.4 Anwendungen der De Moivre-Formeln.- 3.5 Harmonische Schwingungen.- Aufgaben.- §4. Zahlenfolgen und Grenzwerte.- 4.1 Folgen.- 4.2 Definition des Grenzwerts; konvergente Zahlenfolgen.- §5. Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien.- 5.1 Rechenregeln.- 5.2 Grenzwertbestimmung durch Abschätzung.- 5.3 Monotone Folgen.- 5.4 Die Exponentialfunktion.- 5.5 Für Fortgeschrittene: Das Cauchy-Konvergenzkriterium.- Aufgaben.- §6. Funktionengrenzwerte, Stetigkeit.- 6.1 Definitionen.- 6.2 Die 6 elementaren Methoden der Grenzwertbestimmung.- 6.3 Asymptoten.- 6.4 Stetigkeit.- Aufgaben.- 3. Differentiation.- §1. Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion.- 1.1 Die Definition der Ableitung.- 1.2 Die geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg.- 1.3 Die analytische Deutung der Ableitung: Lineare Approximation.- 1.4 Die physikahsche Deutung der Ableitung: Geschwindigkeit.- 1.5 Stetigkeit ist notwendig für Differenzierbarkeit.- 1.6 Diflferentiationsregeln.- 1.7 Die Differentiation der Polynome und der rationalen Funktionen.- 1.8 Die Ableitung der Kreisfunktionen.- 1.9 Die Kettenregel.- 1.10 Höhere Ableitungen.- Aufgaben.- §2. Anwendungen der Differentiation.- 2.1 Maxima und Minima einer Funktion.- 2.2 Der Mittelwertsatz.- 2.3 Wendepunkte.- 2.4 Die Regeln von De L’Hospital.- 2.5 Kurvendiskussion.- 2.6 Nullstellen und Fixpunkte.- 2.7 Kubische Splines.- Aufgaben.- §3. Umkehrfunktionen.- 3.1 Grundlagen.- 3.2 n-te Wurzel, rationale Exponenten.- 3.3 Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens.- Aufgaben.- §4. Die Exponential- und Logarithmusfunktion.- 4.1 Die e-Funktion.- 4.2 Die Kurve y = ex ? 4.3 Exponentiell wachsende bzw. fallende Prozesse.- 4.4 Der natürliche Logarithmus.- 4.5 Allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmen.- 4.6 Die Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh.- Aufgaben.- 4. Integration.- §1. Das bestimmte Integral.- 1.1 Die Definition des bestimmten Integrals.- 1.2 Die geometrische Deutung.- 1.3 Elementare Integrationsregeln und der Mittelwertsatz.- 1.4 Differentiation und Integration.- Aufgaben.- §2. Integrationsregeln.- 2.1 Linearität.- 2.2 Partielle Integration.- 2.3 Die Substitutionsmethode.- 2.4 Symmetrien beachten.- 2.5 Ausblicke.- Aufgaben.- §3. Die Integration der rationalen Funktionen.- 3.1 Die Partialbruchzerlegung.- 3.2 Die Integration.- 3.3 Die Integration von R(ex).- 3.4 Die Integration von R$$ R(x,k\sqrt {\frac{{ax + b}}
{{cx + e}}} ),ae - bc \ne 0 $$.- 3.5 Die Integration von R (sin x, cos x).- 3.6 Trigonometrische und hyperbolische Substitutionen.- Aufgaben.- §4. Uneigentliche Integrale.- 4.1 Die Definition der uneigentlichen Integrale.- 4.2 Ein Konvergenz- Test.- 4.3 Ein an beiden Grenzen uneigentliches Integral.- 4.4 Ausnahmestellen im Innern des Integrationsintervalls.- Aufgaben.- §5. Kurven, Längen- und Flächenmessung.- 5.1 Die Parameterdarstellung.- 5.2 Tangente und Normale.- 5.3 Kurvenlänge.- 5.4 Krümmung und Krümmungskreis.- 5.5 Die Polardarstellung einer ebenen Kurve.- 5.6 Flächeninhalte.- Aufgaben.- §6. Weitere Anwendungen des Integrals.- 6.1 Abkürzende Redeweisen.- 6.2 Das Volumen eines Rotationskörpers.- 6.3 Die Mantelfläche.- Aufgaben.- §7. Numerische Integration.- Aufgaben.- 5. Potenzreihen.- §1. Unendliche Reihen.- 1.1 Grundbegriffe.- 1.2 Absolute Konvergenz.- Aufgaben.- §2. Reihen von Funktionen.- 2.1 Gleichmäßige Konvergenz.- 2.2 Gleichmäßig konvergente Funktionenreihen.- Aufgaben.- §3. Potenzreihen.- 3.1 Der Konvergenzradius.- 3.2 Berechnung des Konvergenzradius.- 3.3 Die Differentiation und Integration von Potenzreihen.- 3.4 Die Potenzreihendarstellung einiger Funktionen.- 3.5 Die Binomialreihe.- 3.6 Potenzreihen mit dem Zentrum a ? 0 ? 3.7.- 3.7 Koeffizientenvergleich.- Aufgaben.- §4. Der Satz von Taylor; Taylor-Reihen.- 4.1 Die Taylor-Formel.- 4.2 Die Taylor-Reihe.- 4.3 Methoden der Reihenentwicklung.- Aufgaben.- §5. Anwendungen (an Beispielen).- 5.1 Grenzwertberechnungen.- 5.2 Näherungsformeln (Approximation).- 5.3 Die Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfunktion mit nicht elementar integrierbarem Integranden.- 5.4 Potenzreihenansatz zur Lösung einfacher Differentialgleichungen.- Aufgaben.- 6. Lineare Algebra.- §1. Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- 1.1 Was ist eine Matrix?.- 1.2 Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einem Zahlenfaktor.- 1.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen.- 1.4 Das Gaußsche Lösungsverfahren.- Aufgaben.- §2. Die Matrizenmultiplikation.- 2.1 „Zeile mal Spalte“.- 2.2 Die Multiplikation zweier Matrizen.- 2.3 Rechenregeln.- 2.4 Die Transponierte einer Matr.- 2.5 Invertierbare Matrizen.- 2.6 Diagonal- und Dreiecksmatrizen.- Aufgaben.- §3. Vektorräume.- 3.1 Der „abstrakte“ Vektorraum.- 3.2 Unterräume, Linearkombinationen, lineare Hülle.- 3.3 Basis und Dimension.- Aufgaben.- §4. Elementarmatrizen und elementare Umformungen.- 4.1 Zeilenraum und Spaltenraum.- 4.2 Elementarmatrizen.- 4.3 Der Rang und die P-Q-Normalform.- 4.4 Rechen verfahren.- Aufgaben.- §5. Determinanten.- 5.1 Einführung.- 5.2 Definition der Determinante einer n x n -Matr.- 5.3 Rechenregeln für Determinanten.- 5.4 Die Entwicklung von det A nach einer beliebigen Zeile oder Spalte.- 5.5 Beispiele.- 5.6 Anwendungen.- Aufgaben.- §6. Lineare Abbildungen und Eigenwerte.- 6.1 Lineare Abbildungen.- 6.2 V = W = ?n.- 6.3 Längen und Winkel im ?n ; Orthogonalität.- 6.4 Speziell: Spiegelungen und Drehungen.- 6.5 Das Schmidtsche Orthonormierungsverfahren.- 6.6 Basiswechsel, Koordinatentransformation.- 6.7 Eigenwerte, Eigenvektoren.- 6.8 Die orthogonale Gruppe.- Aufgaben.- §7. Symmetrische Matrizen und quadratische Formen.- 7.1 Quadratische Formen.- 7.2 Die Hauptachsentransformation.- 7.3 Quadriken.- 7.4 Die nichtorthogonale Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix.- 7.5 Positiv definite Matrizen.- Aufgaben.- 7. Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation.- §1. Kurven im ?n.- 1.1 Parameterdarstellungen.- 1.2 Das begleitende Dreibein, Krümmung, Torsion.- 1.3 Ergänzung: Der natürliche Parameter und die Frenet- schen Formeln.- Aufgaben.- §2. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher.- 2.1 Grundlagen.- 2.2 Grenzwerte und Stetigkeit.- 2.3 Partielle Ableitungen, der Gradient.- 2.4 Die totale Ableitung und lineare Approximation.- 2.5 Einfache Anwendungen.- 2.6 Die Richtungsableitung, der Anstieg und die Kettenregel.- Aufgaben.- §3. Anwendungen der Differentiation.- 3.1 Die Bedeutung des Gradienten.- 3.2 Approximation höherer Ordnung; die Taylor-Formel.- 3.3 Implizite Funktionen.- 3.4 Lokale Minima und Maxima.- 3.5 Ausgleichsrechnung.- 3.6 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen.- Aufgaben.- §4. Vektorwertige Funktionen.- 4.1 Die Differentiation.- 4.2 Die Kettenregel.- 4.3 Räumliche Skalaren- und Vektorfelder.- 4.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace- Operator.- Aufgaben.- 8. Funktionen in mehreren Variablen: Integration.- §1. Parameterintegrale.- 1.1 Parameterintegrale.- Aufgaben.- §2. Kurvenintegrale.- 2.1 Das Kurvenintegral einer skalaren Funktion.- 2.2 Anwendungen.- 2.3 Die Integration eines Vektorfeldes längs einer Kurve.- 2.4 Anwendungen und Beispiele.- 2.5 Das Potential eines Gradientenfeldes.- 2.6 Die praktische Bestimmung eines Potentials (n = 3).- Aufgaben.- §3. Die Integration über ebene Bereiche.- 3.1 Der Flächeninhalt.- 3.2 Definition und einfache Eigenschaften des Doppehntegrals.- 3.3 Die Berechnung des Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten.- 3.4 Weitere Anwendungen und Beispiele.- 3.5 Der Satz von Green.- Aufgaben.- §4. Die Integration über Flächen im Raum.- 4.1 Parameterdarstellungen.- 4.2 Beispiele.- 4.3 Der Flächeninhalt.- 4.4 Das Oberflächenintegral einer skalaren Funktion.- 4.5 Die Transformationsformel für Gebietsintegrale.- 4.6 Das Oberflächenintegral eines Vektorfeldes.- 4.7 Der Satz von Stokes.- Aufgaben.- §5. Die Integration über dreidimensionale Bereiche.- 5.1 Definition und einfache Eigenschaften des Dreifachintegrals.- 5.2 Einfache Anwendungsbeispiele.- 5.3 Die Transformationsformel für Volumenintegrale.- 5.4 Der Divergenzsatz.- 5.5 Einige Anwendungen der Integralsätze.- 5.6 Orthogonale krummlinige Koordinaten.- Aufgaben.- Anhang: Pascal-Programme.- Namen- und Sachverzeichnis.