Finite Differenzen und Elemente

Finite Differenzen.- 0 Allgemeine Grundlagen.- 0.1 Zur Schreibweise.- 0.2 Synonyma des Wortes “Definitionsbereich”.- 0.3 Nebenbedingungen.- 0.4 Zur Klassifizierung partieller Differentialgleichungen.- 0.5 Iteration.- 0.6 Matrizen und Gauß-Elimination.- 0.7 Gestaffelte Systeme, Dreiecksmatrizen, LR-Zerlegung.- 1 Grundlagen der Differenzenmethode.- 1.1 Prinzip und einfachste Formeln.- 1.2 Die Formel von Taylor.- 1.3 Approximation der ersten Ableitung.- 1.4 Approximation der zweiten Ableitung.- 1.5 Explizite und implizite Systeme.- 1.6 Stabile und instabile Systeme.- 1.7 Stabilität im Sinne John von Neumanns.- 1.8 Elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen.- 1.9 Gitter und Randbedingungen.- 1.10 Unregelmäßige Gitter. Mehrgitterverfahren Lokale Netzverfeinerung.- 1.11 Höhere Ableitungen auf quadratischen Gittern.- 1.12 Differenzenformeln hoher Genauigkeit.- 1.13 Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten Eichung/history matching. Stream weighting.- 1.14 Numerische Dispersion 1.- 1.15 Numerische Dispersion 2.- 1.16 Neun-Punkte Formeln für den Laplace Operator.- 1.17 Herleitung der Neun-Punkte Formel D(p,u).- 1.18 Praktische Fragen.- 1.19 Fehlernormen.- 1.20 Diskretisierung der selbstadjungierten Form (Kux)x.- 1.21 Das Liebmannsche Mittelungsverfahren: Ein elementares klassisches Beispiel der Differenzenmethode.- 1.22 Literatur.- 2 Parabolische Gleichungen I.- 2.1 Zusammenfassung.- 2.2 Lineare tridiagonale Systeme Das Programm Algorithmus TRIDIA.- 2.3 Nichtlineare tridiagonale Systeme.- 2.4 Implizite Lösung von uxx + Q(x,t) = cut.- 2.5 Randbedingungen.- 2.6 Das Programm implizit.f77.- 2.7 Die Crank-Nicolson Variante CN. Das Programm cranknic.f77.- 2.8 Die Gleichung uxx + uyy + Q(x,y,t) = cut · ADIP.- 2.9 Das ADIP-Programm adipr.f77 auf Rechteckgebieten.- 2.10 Die Gleichung uxx + uyy + uzz + Q(x,y,z,t) = cut.- 2.11 Nichtlinearitäten, Nichtrechteckgebiete und Anisotropie.- 2.12 Explizite Lösung der 2- und 3-dimensionalen Gleichung.- 2.13 Literatur.- 3 Elliptische Gleichungen.- 3.1 Zusammenfassung.- 3.2 Bandmatrizen Der Gauß-Algorithmus BANDMATRIX.- 3.3 Direkte Lösung der Gleichungen von Laplace und Poisson mit hoher Genauigkeit.- 3.4 Das Programm poissonl.f77.- 3.5 Ein einfaches Mehrgitterverfahren für die Gleichungen von Poisson und Laplace.- 3.6 Das Programm multigrid.f77.- 3.7 Die Gleichung von Helmholtz.- 3.8 Fehlerabschätzung nach Richardson.- 3.9 Die nichtlineare selbstadjungierte elliptischparabolische Gleichung auf inhomogenen, unregelmäßig berandeten Gebieten.- 3.10 Die selbstadjungierte elliptische bzw. parabolische Differenzengleichung.- 3.11 Die Koeffizienten S und T.- 3.12 Die Randbedingungen.- 3.13 Das Programm adjung.f77.- 3.14 Lösung elliptischer Gleichungen mit adjung.f77.- 3.15 Die Austauschbarkeit elliptischer und parabolischer Programme.- 3.16 Douglas-Rachford iterativ (DRI).- 3.17 Die Biharmonische ?4u = ?2(?2u)=0.- 3.18 Literatur.- 4 Hyperbolische Gleichungen.- 4.1 Zusammenfassung.- 4.2 Charakteristiken.- 4.3 Die Gleichung a(x,y)uxx?c(x,y)uyy = g(x,y)u+f(x,y) mit a(x,y)>0 und c(x,y)>0.- 4.4 Die Wellengleichungen utt = ?uxx + f, utt = ?(uxx + uyy) + f und utt = p(uxx + uyy + uzz) + f mit µ = c2.- 4.5 Die Bestimmung der zulässigen Maschenweiten für Wellengleichungen. Das Kriterium von Courant, Friedrichs und Lewy.- 4.6 Das Programm welle.f77 für 2D-Wellengleichungen.- 4.7 Die Charakteristiken der quasilinearen Gleichung erster Ordnung.- 4.8 Die Charakteristiken quasilinearer Systeme erster Ordnung.- 4.9 Die Lösung hyperbolischer kanonischer Systeme.- 4.10 Beweis der Konvergenz der Näherungslösung.- 4.11 Systeme vom Telegraphengleichungstyp.- 4.12 Gleichungen und Systeme vom Typ ut = ??(x,t)vx.- 4.13 Das Programm utvx.f77.- 4.14 Numerische Längsdispersion 1.- 4.15 Das Lax-Wendroff Schema.- 4.16 Das Programm laxwf.f77.- 4.17 Numerische Längsdispersion 2.- 4.18 Integration der Gleichung ux + vy = 0.- 4.19 Literatur.- 5 Parabolische Gleichungen II.- 5.1 Zusammenfassung.- 5.2 Die SOR-Methode zur Lösung linearer Gleichungen Die Verfahren von Jacobi und Gauß-Seidel.- 5.3 Neun-Punkte Formel des Operators (Tux)x + (Tuy)y Minimalisierung der numerischen Querdispersion.- 5.4 Mehrdimensionale Grundgebiete beliebiger und wechselnder Gestalt. Gitterabtastung. Dreidimensionale Differentialgleichungen auf beliebigen Bereichen.- 5.5 Das Generalprogramm gebiet.f77 für selbstadjungierte Gleichungen auf beliebigen zweidimensionalen Definitionsbereichen mit Dispersionsminimalisierung.- 5.6 Das Arbeiten mit dem Generalprogramm gebiet.f77.- 5.7 Die Konvektions-Diffusionsgleichung auf beliebigen dreidimensionalen Definitionsbereichen. ?-Parameter.- 5.8 Numerische Dispersion selbstadjungierter Gleichungen und solcher vom Konvektions-Diffusionstyp.- 5.9 Automatische Zeitschrittwahl und Abschätzung der Stabilität und Dispersion nichtlinearer Gleichungen.- 5.10 Iteration nichtlinearer Gleichungen. Das Verfahren von Newton und Raphson.- 5.11 Tensorgleichungen. Gleichungen mit gemischten Ableitungen.- 5.12 Wandernde Fronten. Stream weighting 1.- 5.13 Freie Ränder. Stream weighting 2.- 5.14 Ein Kurzprogramm für selbstadjungierte Gleichungen auf beliebigen dreidimensionalen Bereichen mit allgemeinen Randbedingungen, harmonischer Mittelung und upstream weighting. Lösung explizit.- 5.15 Nichtkartesische Koordinaten mit unregelmäßigen Gitterabständen, unendliche Definitionsbereiche, logarithmische Unstetigkeiten und Anfangs-Sprungunstetigkeiten.- 5.16 Systeme parabolischer oder elliptischer Gleichungen.- 5.17 Eine Bemerkung zu Gleichungen der Form f(vxx, vyy, vzz, vx, vy, vz, ut)=0.- 5.18 Zusammengesetzte Medien. Phasenübergänge.- 5.19 Literatur.- 6 Große lineare Gleichungssysteme.- 6.1 Einleitung.- 6.2 Vorteile und Nachteile expliziter Lösungsverfahren.- 6.3 Vorteile und Nachteile der Mehrgitterverfahren.- 6.4 Vorteile und Nachteile von ADIP und Douglas-Rachford iterativ (DRI).- 6.5 Vorteile und Nachteile von SOR.- 6.6 Vorteile und Nachteile von Gauß-Seidel (GS) und dem Eliminationsverfahren von Gauß (GE).- 6.7 Vorteile und Nachteile des Verfahrens von Jacobi (J).- 6.8 Gradienten(artige) Methoden mit ihren Vor- und Nachteilen.- 6.9 Schlußworte zur Besprechung der Vor- und Nachteile der einzelnen Lösungsverfahren.- 6.10 Definitionen: positiv definite, unzerlegbare, diagonal dominierte Matrizen.- 6.11 Anwendung auf selbstadjungierte Gleichungen, Konvergenz iterativer Verfahren und Gauß-Elimination.- 6.12 Spärlich besetzte Bandmatrizen.- 6.13 Das speicherplatzsparende Programm gauss.f77.- 6.14 Die Gradientenmethode CG (conjugate gradient algorithm) für positiv definite Systeme.- 6.15 Die Gradientenmethode CGS (conjugate gradients squared) für Navier-Stokes Gleichungen und andere asymmetrische Probleme.- 6.16 Vorkonditionierung (preconditioning).- 6.17 Platzsparendes Abspeichern der Koeffizientenmatrix.- 6.18 Einfachindizierung der Gitterpunkte bei Anwendung direkter Verfahren und Gradientenmethoden.- 6.19 Literatur.- Finite Elemente.- 7 Einführung in die Methode der finiten Elemente.- 7.1 Finite Elemente und ihre Knoten.- 7.2 Variationsaufgaben. Die Verfahren von Ritz und Galerkin.- 7.3 Vergleich der Differenzenmethode mit der finiten Elementmethode bei Lösung partieller Differentialgleichungen.- 7.4 Die Überführung von Variationsaufgaben in Differentialgleichungen. Natürliche Randbedingungen.- 7.5 Der Arbeitsablauf bei der Ritz-Variante.- 7.6 Die Berechnung von ?J/?Ur.- 7.7 Eindimensionale Elemente.- 7.8 Die Lösung eindimensionaler Variationsaufgaben.- 7.9 Die Entfernung von Innenknoten.- 7.10 Die wichtigsten Eulerschen Gleichungen zu Variationsaufgaben.- 7.11 Variationsaufgaben zu gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 7.12 Variationsaufgaben zu elliptischen Differentialgleichungen in der Ebene und im Raum.- 7.13 Literatur.- 8 Die Lösung von Variationsaufgaben I.- 8.1 Einleitung.- 8.2 Rechteckelemente.- 8.3 Dreidimensionale Blockelemente.- 8.4 Numerische Integration auf Intervall-, Rechteck- und Blockelementen.- 8.5 Dreieckelemente.- 8.6 Dreieckelemente mit drei oder sechs Knoten.- 8.7 Tetraederelemente.- 8.8 Die Behandlung nichtlinearer Randwertprobleme. Minimalflächen.- 8.9 Bemerkungen zur Programmierung und Gebietsaufteilung.- 8.10 Literatur.- 9 Die Lösung von Variationsaufgaben II.- 9.1 Allgemeine finite Elemente.- 9.2 Schiefwinklige 4-Knoten-Viereckelemente.- 9.3 Windschiefe dreidimensionale Blöcke.- 9.4 Die numerische Integration über schiefwinklige Vierecke und windschiefe dreidimensionale Blöcke.- 9.5 Dreieckelemente mit gekrümmten Rändern 1.- 9.6 Dreieckelemente mit gekrümmten Rändern 2.- 9.7 Dreieckelemente mit einem gekrümmten Rand.- 9.8 Integration über krummlinig berandete Dreiecke.- 9.9 Viereckelemente mit gekrümmten Rändern.- 9.10 Vergleich der praktischen Eigenschaften der Elemente.- 9.11 Die Biharmonische und andere Gleichungen vierter Ordnung.- 9.12 Intervallelemente mit stetiger erster Ableitung. Die Variationsaufgabe der gewöhnlichen Differentialgleichung vierter Ordnung.- 9.13 Literatur.- 10 Gemischte Randbedingungen. Der Galerkin-Prozeß.- 10.1 Einleitung.- 10.2 Die Normalableitung.- 10.3 Natürliche Randbedingungen. Verschwinden der Normalableitung auf dem Rand.- 10.4 Gemischte Randbedingungen für Gleichungen mit zwei Ortsvariablen.- 10.5 Durchführung der Lösung für gemischte Randbedingungen.- 10.6 Gemischte Randbedingungen für Gleichungen mit drei Ortsvariablen.- 10.7 Die Berücksichtigung einfacher Nebenbedingungen.- 10.8 Der Galerkin-Prozeß.- 10.9 Lineare und nichtlineare parabolische, hyperbolische und gemischte Gleichungen und nichtlineare elliptische Probleme.- 10.10 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 10.11 Literatur.- Fortran 77 Programme.- implicit.f77.- subprgl.f77.- cranknic.f77.- adipr.f77.- subprg2.f77.- poissoni.f77.- pmat.f77.- multigrid.f77.- adjung.f77.- welle.f77.- utvx.f77.- laxwf.f77.- gebiet.f77.- gauss.f77.