Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften

Vorwort.- 1. Einführung in die Logik.- 1.1. Aussagen, Variable, Aussageformen.- 1.2. Aussagenverbindungen.- 1.3. Identitäten.- 1.3.1. Logisch äquivalente Aussagenverbindungen.- 1.3.2. Identitäten in Form einer Implikation.- 1.3.3. Schlußregeln.- 1.4. Elemente der Schaltalgebra.- 1.5. Quantifizierung von Aussageformen.- Aufgaben.- 2. Grundbegriffe der Mengenlehre.- 2.1. Vorbemerkungen.- 2.2. Mengen und Teilmengen.- 2.3. Mengenoperationen.- 2.4. Produktmengen, Relationen.- 2.4.1. Produktmengen, Relationsbegriff.- 2.4.2. Ordnungsrelationen.- 2.4.3. Äquivalenzrelationen, Klasseneinteilungen.- 2.5. Abbildungen, Funktionen, Operationen.- 2.6. Gleichmächtigkeit von Mengen, Endlichkeit.- Aufgaben.- 3. Zahlenbereiche.- 3.1. Natürliche Zahlen.- 3.1.1. Peanosches Axiomensystem.- 3.1.2. Vollständige Induktion.- 3.2. Ganze Zahlen.- 3.3. Rationale Zahlen.- 3.4. Reelle Zahlen.- 3.4.1. Begriffund Operationen.- 3.4.2. Ungleichungen und absoluter Betrag.- 3.4.3. Darstellung reeller Zahlen (Zahlensysteme).- 3.5. Komplexe Zahlen.- 3.5.1. Begriffder komplexen Zahl.- 3.5.2. Rechnen mit komplexen Zahlen.- 3.5.3. Polarkoordinaten, trigonometrische Darstellung.- Aufgaben.- 4. Kombinatorik.- 4.1. Summenzeichen.- 4.2. Produktzeichen.- 4.3. Aufgaben der Kombinatorik.- 4.4. Permutationen.- 4.4.1. Permutationen ohne Wiederholung.- 4.4.2. Permutationen mit Wiederholung.- 4.5. Variationen.- 4.5.1. Variationen ohne Wiederholung.- 4.5.2. Variationen mit Wiederholung.- 4.6. Kombinationen.- 4.6.1. Kombinationen ohne Wiederholung.- 4.6.2. Kombinationen mit Wiederholung.- 4.7. Binomial und Polynomialsatz.- 4.7.1. Eigenschaften des Eulerschen Symbols (n/k).- 4.7.2. Binomialsatz.- 4.7.3. Polynomialsatz.- Aufgaben.- 5. Lineare Algebra.- 5.1. Matrixbegriff und spezielle Matrizen.- 5.2. Matrizenrelationen.- 5.2.1. Gleichheit von Matrizen.- 5.2.2. Ungleichheit von Matrizen.- 5.3. Matrizenoperationen.- 5.3.1. Transponieren.- 5.3.2. Matrizenaddition.- 5.3.3. Matrizensubtraktion.- 5.3.4. Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar.- 5.3.5. Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalarprodukt).- 5.3.6. Multiplikation von Matrizen.- 5.4. Linearkombination von Vektoren.- 5.5. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren.- 5.6. Elementare Basistransformation.- 5.7. Rang einer Matrix.- 5.8. Konvexe Mengen.- 5.9. Lineare Gleichungssysteme.- 5.9.1. Begriff des linearen Gleichungssystems.- 5.9.2. Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme.- 5.9.3. Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung.- 5.9.4. Lineare Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen.- 5.10. Matrizeninversion.- 5.11. Matrizengleichungen.- 5.12. Lineare Ungleichungssysteme.- 5.12.1. Begriff des linearen Ungleichungssystems.- 5.12.2. Normales Ungleichungssystem mit beschränkter Lösungsmenge.- 5.13. Determinanten.- 5.14. Quadratische Formen und Definitheit.- Aufgaben.- 6. Lineare Optimierung.- 6.1. Einleitung.- 6.2. Lineare Optimierungsmodelle und die Normalform der linearen Optimierungsaufgabe.- 6.2.1. Lineare Optimierungsmodelle.- 6.2.2. Normalform der linearen Optimierungsaufgabe.- 6.3. Graphische Lösung von linearen Optimierungsaufgaben in zwei Variablen.- 6.4. Grundlegende Eigenschaften linearer Optimierungsaufgaben.- 6.5. Simplexmethode.- 6.5.1. Simplexalgorithmus.- 6.5.2. Zur numerischen Durchführung des Simplexalgorithmus.- 6.5.3. Erzeugung einer ersten zulässigen Basislösung und der zugehörigen kanonischen Form - die Phase I der Simplexmethode.- 6.5.4. Numerische Durchführung der zwei Phasen der Simplexmethode.- 6.6. Dualitätstheorie der linearen Optimierung.- 6.6.1. Paare dualer linearer Optimierungsaufgaben.- 6.6.2. Eigenschaften von Paaren dualer linearer Optimierungsaufgaben.- 6.6.3. Ökonomische Interpretation eines Paares dualer linearer Optimierungsaufgaben.- 6.7. Dualer Simplexalgorithmus.- 6.7.1. Theoretische Betrachtungen zum dualen Simplexalgorithmus.- 6.7.2. Zur numerischen Durchführung des dualen Simplexalgorithmus.- 6.8. Klassische Transportaufgabe.- 6.8.1. Problemstellung und Modellkonstruktion.- 6.8.2. Eigenschaften der klassischen Transportaufgabe und die Erzeugung zulässiger Basislösungen.- 6.8.3. Erzeugung einer optimalen zulässigen Basislösung.- 6.8.4. Zur numerischen Durchführung des Lösungsverfahrens für die klassische Transportaufgabe.- 6.9. Parametrische lineare Optimierung.- 6.9.1. Lineare Abhängigkeit der Bewertungskoeffizienten von einem Parameter.- 6.9.2. Lineare Abhängigkeit des Erfordernisvektors von einem Parameter.- 6.10. Diskrete lineare Optimierung.- 6.10.1. Schnittebenenverfahren von Gomory.- Aufgaben.- 7. Zahlenfolgen und -reihen.- 7.1. Begriff der Zahlenfolge, spezielle Zahlenfolgen.- 7.1.1. Erklärung der Zahlenfolge.- 7.1.2. Arithmetische Zahlenfolgen.- 7.1.3. Differenzenfolgen.- 7.1.4. Geometrische Zahlenfolgen.- 7.1.5. Beschränkte und monotone Zahlenfolgen.- 7.2. Konvergente Zahlenfolgen.- 7.2.1. Grenzwert von Zahlenfolgen.- 7.2.2. Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen.- 7.2.3. Divergente Zahlenfolgen.- 7.2.4. Konvergenzkriterien.- 7.3. Zahlenreihen.- 7.3.1. Begriff der unendlichen Reihe.- 7.3.2. Summe einer unendlichen Reihe.- 7.3.3. Unendliche geometrische Reihe.- 7.3.4. Konvergenzkriterien.- Aufgaben.- 8. Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen.- 8.1. Funktionen mit einer unabhängigen Variablen.- 8.1.1. Eigenschaften und Typen von Funktionen.- 8.1.2. Grenzwerte von Funktionen.- 8.1.3. Stetigkeit.- 8.2. Differenzierbarkeit.- 8.2.1. Differentialquotient.- 8.2.2. Differentiationsregeln.- 8.2.3. Mittelwertsatz.- 8.2.4. Differentiale.- 8.2.5. Ableitungen höherer Ordnung.- 8.3. Satz von Taylor; Taylorsche Reihen.- 8.3.1. Satz von Taylor o.- 8.3.2. Taylorsche Reihen.- 8.3.3. Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktion.- 8.4. Anwendungen der Differentialrechnung zur Untersuchung von Funktionen.- 8.4.1. Relative und absolute Extrema.- 8.4.2. Monotonie, Konvexität, Konkavität.- 8.5. Ökonomische Anwendungen der Differentialrechnung.- 8.5.1. Optimale Losgröße.- 8.5.2. Optimale Nutzungsdauer.- 8.5.3. Optimale Laufzeit von Fördersonden.- 8.5.4. Optimale Ankunftsintensität von Schiffen.- Aufgaben.- 9. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.- 9.1. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.- 9.1.1. Grundbegriffe und geometrische Darstellung.- 9.1.2. Grenzwerte und Stetigkeit.- 9.2. Ableitung und Differential.- 9.2.1. Partielle Ableitungen.- 9.2.2. Vollständiges Differential.- 9.2.3. Partielle Ableitungen höherer Ordnung.- 9.2.4. Fehlerabschätzungen.- 9.3. Extremwerte.- 9.3.1. Notwendige Bedingungen.- 9.3.2. Hinreichende Bedingungen.- 9.3.3. Extremwerte unter Nebenbedingungen.- 9.3.4. Methode der kleinsten Quadratsumme.- Aufgaben.- 10 Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen.- 10.1. Unbestimmtes Integral.- 10.1.1. Stammfunktion.- 10.1.2. Grundregeln zur Ermittlung unbestimmter Integrale.- 10.1.3. Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen.- 10.1.4. Integration rationaler Funktionen.- 10.1.5. Integration einiger spezieller Funktionen.- 10.2. Bestimmtes Integral.- 10.2.1. Flächeninhalt.- 10.2.2. Bestimmtes (Riemannsches) Integral.- 10.2.3. Integrierbarkeit monotoner und stetiger Funktionen.- 10.2.4. Mittelwertsätze der Integralrechnung.- 10.2.5. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 10.2.6. Rechnen mit bestimmten Integralen.- 10.3. Anwendungen der Integralrechnung.- 10.4. Uneigentliche Integrale.- 10.4.1. Integrale über unbeschränkte Intervalle.- 10.4.2. Integrale von nicht beschränkten Funktionen.- Aufgaben.- 11. Lineare Differential- und Differenzengleichungen.- 11.1. Lineare Differentialgleichungen.- 11.1.1. Allgemeine Bemerkungen und Definitionen.- 11.1.2. Differentialgleichung 1. Ordnung.- 11.1.3. Trennung der Variablen.- 11.1.4. Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.- 11.1.5. Sätze über die Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.1.6. Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.- 11.1.7. Homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 11.1.8. Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 11.1.9. Methode der Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung.- 11.1.10. Variation der Konstanten für die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung.- 11.1.11. Spezielle Lösungsansätze zur Bestimmung einer partikulären Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung.- 11.1.12. Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 11.1.13. Homogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.1.14. Inhomogene Systeme von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.1.15. Eliminationsverfahren zur Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen.- 11.1.16. Ökonomische Anwendungen von Differentialgleichungen.- 11.2. Differenzenrechnung.- 11.2.1. Funktion und ihre Differenzen.- 11.2.2. Eigenschaften des Differenzenoperators.- 11.3. Differenzengleichungen.- 11.3.1. Definitionen.- 11.3.2. Existenz- und Eindeutigkeitssatz für lineare Differenzengleichungen.- 11.3.3. Allgemeine Sätze über lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.4. Lineare Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.5. Homogene lineare Differenzengleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.6. Homogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.7. Inhomogene lineare Differenzengleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.3.8. Systeme linearer Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.- 11.4. Zusammenhang zwischen Differenzen- und Differentialgleichungen.- Aufgaben.- 12. Nichtlineare Optimierung.- 12.1. Problemstellungen der nichtlinearen Optimierung.- 12.1.1. Allgemeine Aufgabe der nichtlinearen Optimierung.- 12.1.2. Graphische Lösung von nichtlinearen Optimierungsaufgaben in zwei Variablen.- 12.1.3. Konvexe Funktionen.- 12.1.4. Globale und relative Extrema.- 12.1.5. Besonderheiten der nichtlinearen Optimierung.- 12.1.6. Aufgaben der konvexen Optimierung.- 12.1.7. Hyperbolische Optimierung.- 12.1.8. Quadratische Optimierung.- 12.2. Approximationsmethoden für Probleme mit trennbaren Funktionen.- 12.3. Hyperbolische Optimierung.- 12.4. Satz von Kuhn-Tucker.- 12.4.1. Satz von Kuhn-Tucker für konvexe Probleme.- 12.4.2. Bedingungen von Kuhn-Tucker für quadratische Probleme.- 12.5. Quadratische Optimierung.- 12.5.1. Allgemeine Aussagen über quadratische Probleme.- 12.5.2. Dualität.- 12.6. Gradientenverfahren.- 12.6.1. Allgemeines Vorgehen der Gradientenverfahren.- 12.6.2. Quadratischer Fall.- Aufgaben.- 13. Dynamische Optimierung.- 13.1. Stellung der dynamischen Optimierung in der Optimierungstheorie.- 13.2. Mehrstufige Entscheidungsprozesse.- 13.2.1. Dynamische Systeme und Mehrstufenprozesse.- 13.2.2. Mehrstufenentscheidungsprozesse.- 13.2.3. Separable Mehrstufenentscheidungsprozesse.- 13.2.4. Zusammenfassende Problemstellung.- 13.3. Lösungsverfahren.- 13.3.1. Optimalitätsprinzip.- 13.3.2. Funktionalgleichungen.- 13.3.3. Lösung der Funktionalgleichungen.- 13.3.4. Fragen der praktischen Auswertung der Funktionalgleichungen.- 13.3.5. Umkehrung der Optimierungsrichtung.- 13.4. Ein Verteilungsproblem.- 13.5. Wertung des Verfahrens und Ausblick.- Aufgaben.- 14. Grapbentbeorie.- 14.1. Grundlagen.- 14.1.1. Ungerichtete Graphen.- 14.1.2. Gerichtete Graphen.- 14.1.3. Durchlaufungen.- 14.1.4. Graphen und Matrizen.- 14.1.5. Bäume und Gerüste.- 14.1.6. Planare Graphen.- 14.2. Anwendungen der Graphentheorie in der Ökonomie.- 14.2.1. Kürzeste Wege.- 14.2.2. Einiges über Netzplantechnik.- 14.2.3. Spannungen auf Graphen.- 14.2.4. Ströme auf Graphen.- Aufgaben.- 15. Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 15.1. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 15.1.1. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung.- 15.1.2. Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit.- 15.1.3. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 15.1.4. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 15.1.5. Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit.- 15.1.6. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.- 15.1.7. Unabhängigkeit und Abhängigkeit von Ereignissen.- 15.1.8. Zufallsgrößen.- 15.2. Diskrete Verteilungen.- 15.2.1. Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.2. Erwartungswert und Streuung einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.3. Weitere Parameter einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.4. Erzeugende Funktion einer diskreten Zufallsgröße.- 15.2.5. Mehrdimensionale diskrete Zufallsgrößen.- 15.3. Spezielle diskrete Verteilungen.- 15.3.1. Binomialverteilung.- 15.3.2. Hypergeometrische Verteilung.- 15.3.3. Geometrische Verteilung.- 15.3.4. Poisson-Verteilung.- 15.3.5. Polynomialverteilung.- 15.4. Stetige Verteilungen.- 15.4.1. Verteilungsgesetz einer stetigen Zufallsgröße.- 15.4.2. Parameter einer stetigen Zufallsgröße.- 15.4.3. Mehrdimensionale stetige Zufallsgrößen.- 15.5. Spezielle stetige Verteilungen.- 15.5.1. Gleichmäßige Verteilung.- 15.5.2. Exponentialverteilung.- 15.5.3. Normalverteilung.- 15.5.4. Zweidimensionale Normalverteilung.- Aufgaben.- Lösungen zu den Aufgaben.- 1. Einführung in die Logik.- 2. Grundbegriffe der Mengenlehre.- 3. Zahlenbereiche.- 4. Kombinatorik.- 5. Lineare Algebra.- 6. Lineare Optimierung.- 7. Zahlenfolgen und -reihen.- 8. Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen.- 9. Differentialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.- 10. Integralrechnung mit einer unabhängigen Variablen.- 11. Lineare Differential- und Differenzengleichungen.- 12. Nichtlineare Optimierung.- 13. Dynamische Optimierung.- 14. Graphentheorie.- 15. Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Literaturverzeicbnis.- Sachwortverzeichnis.