Partielle Differentialgleichungen

Die mathematische ModelIierung deterministischer Prozesse aus Physik und Tech­ nik, aber auch aus anderen Wissenschaftsgebieten, führt sehr häufig auf Differential­ gleichungen. Der Grund hierfür liegt letztlich darin, daß oftmals die "Triebkräfte des Prozesses" durch räumliche und/oder zeitliche Änderungen der gesuchten Funk­ tionen beschrieben werden (man denke etwa als einfaches Beispiel an das Newtonsche Grundgesetz) und daß dadurch Ableitungen dieser Funktionen mit auftreten. Handelt es sich.. dabei um eine Differentialgleichung für eine Funktion von mehreren Ver­ änderlichen, so spricht man von einer partiellen Differentialgleichung. Das Gebiet der partiellen Differentialgleichungen ist außerordentlich umfangreich und erfordert für tiefere Untersuchungen Methoden, die weit über das Anliegen dieser Lehrbuchreihe hinausreichen. Dieser Band kann deshalb dem Leser nur einen einführenden Einblick in einige typische AufgabensteIlungen und Lösungsmethoden geben und damit einen Ausgangspunkt für weitere Literaturstudien schaffen. Auf Systeme von partiellen Differentialgleichungen mußte völlig verzichtet werden. Die partiellen Differentialgleichungen I. Ordnung werden im Kapitel 2 behandelt. Ihre Theorie ist gut ausgebaut. Ein wichtiges Ergebnis ist dabei - auch für nicht­ lineare Gleichungen - die Rückführbarkeit auf gewöhnliche Differentialgleichungs­ systeme. Von besonderer Bedeutung sind in den Anwendungen Differentialgleichungen 2. Ordnung. Ihre Vielfalt und ihr unterschiedliches Verhalten erfordern sowohl aus theoretischer als auch aus praktischer Sicht eine weitere Klassifikation. Diese Klassi­ fikation wird im Kapitel 3 für gewisse fastlineare Gleichungen 2. Ordnung durch­ geführt. Es folgen einige elementare Lösungsmethoden für lineare Gleichungen 2. Ordnung auf der Grundlage des Superpositionsprinzips.