Die Strömung einer Quellstrecke im Halbraum — eine strenge Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen

Ist die z-Achse eines räumlichen Koordinatensystems gleichmäßig mit Quel­ len belegt, deren Ergiebigkeit konstant ist, so ist die zugehörige - als ebene Quellströmung bekannte - reibungslose strömung bekanntlich auch gleichzeitig eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für eine reibende Flüssigkeit. Führt man aber die x-y-Ebene als feste Wand ein, so bleibt zwar für den reibungslosen Fall die Lösung erhalten, da alle Ebenen senk­ recht zur z-Achse Stromflächen sind, nicht aber für den Fall einer reiben­ den Flüssigkeit, da die hier gültigen Randbedingungen an der festen Wand nicht erfüllt werden. Man kann aber, wie wir zeigen werden, für diesen Fall die Navier-Stokes-Gleichungen exakt integrieren, also eine strömung konstruieren, die an der festen Wand der Haftbedingung genügt und für großen Wandabstand asymptotisch in die Lösung der idealen Flüssigkeit übergeht. Wir werden im folgenden die Lösung im allgemeinen Fall im we­ sentlichen als Quotienten hypergeometrischer Reihen konstruieren und dann insbesondere die Lösungen diskutieren, wo diese Reihen abbrechen, man also eine geschlossene Lösung erhält. Die Berechnung dieser "Polynom-Lö­ sungen", wie wir sie kurz nennen wollen, hat wesentlich der zweite Ver­ fasser durchgeführt, ebenso hat er das mit der Senkenstrecke verknüpfte Eigenwertproblem bearbeitet. Wir haben der Forschungsgemeinschaft der Deutschen Wissenschaft für ihre großzügige Unterstützung zu danken; ohne ihre Hilfe hätten die zum Teil sehr umfangreichen und zeitraubenden nume­ rischen Rechnungen nicht bewältigt werden können. Das Hauptziel unserer Untersuchung war, die Geschwindigkeitsverteilungen in der Grenzschicht zu bestimmen, um solche exakten Lösungen der Navier­ Stokes-Gleichungen zur Kontrolle und zum Vergleich für Grenzschichtrech­ nungen verwenden zu können.