Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs

A. Funktionentheorie.- I. Grundlagen.- § 1. Komplexe Zahlen.- § 2. Funktionen.- § 3. Geometrisches Verhalten von Abbildungen im Kleinen.- § 4. Konformität.- § 5. Komplexe Differenzierbarkeit.- § 6. Holomorphe Funktionen.- 6.1 Allgemeines.- 6.2 Potenzreihen.- 6.3 Abbildungseigenschaften.- 6.4 Integration.- § 7. Meromorphie.- § 8. Potentialtheorie.- 8.1 Vektorfelder und Potential.- 8.2 Harmonische und holomorphe Funktionen.- 8.3 Randwertprobleme.- II Elementare Funktionen.- § 1. Lineare Funktionen.- 1.1 Allgemeines.- 1.2 Fixpunkte.- 1.3 Bestimmung linearer Funktionen.- 1.4 Ortskurven.- § 2. Rationale Funktionen.- 2.1 Allgemeines.- 2.2 Hurwitz-Polynome.- 2.3 Positiv-rationale Funktionen.- § 3. Exponentialfunktion.- § 4. Elliptische Funktionen.- 4.1 Einleitung.- 4.2 Die Jacobischen Funktionen.- 4.3 Elliptische Integrale.- 4.4 Thetafunktionen.- III. Konforme Abbildungen.- § 1. Das Problem.- § 2. Einige Abbildungen.- § 3. Polygonabbildung.- § 4. Kreisnahe Gebiete.- IV. Der Einfluß des Randes.- § l. Ein Satz von DARBOUX über Taylor-Koeffizienten.- § 2. Die Technik der komplexen Integration.- § 3. Die erste Randaufgabe der Potentialtheorie.- Literatur.- B. Spezielle Funktionen.- § 1. Die Gammafunktion.- 1.1 Definition. Folgerungen.- 1.2 Charakterisierung durch Funktionalgleichungen.- 1.3 Eulersche Integrale. Betafunktion. Multiplikationstheorem.- 1.4 Binet-Integrale. Stirlingsche Reihe.- 1.5 Hankelsches Integral. Verwandtes.- § 2. Separation der Schwingungsgleichung.- 2.1 ?u in orthogonalen Koordinatensystemen. Orthogonalinvarianz.- 2.2 Separation von ?u +k2u = 0.- 2.2.1 Kartesische Koordinaten x1x2, x3.- 2.2.2 Zylinderkoordinaten ?, ?, z.- 2.2.3 Kugelkoordinaten r,?,?.- 2.2.4 Parabolische Zylinderkoordinaten ?, ?, z.- 2.2.5 Rotationsparabolische Koordinaten ?, ?, ?.- 2.2.6 Elliptische Zylinderkoordinaten ?, ?, z.- 2.2.7 Gestreckt-rotationselliptische Koordinaten?,?,?.- 2.2.8 Abgeplattet-rotationselliptische Koordinaten ?,?,?.- 2.2.9 Parabolische Koordinaten ?, ?, ?.- 2.2.10 Kugel-Kegelkoordinaten r,?, v bzw. r,?,?.- 2.2.11 Elliptische Koordinaten ?, ?, v bzw. ?, ?, ?.- 2.3 Ein Prinzip zur Gewinnung von Integralrelationen.- § 3. Zylinderfunktionen.- 3.1 Die Bessel-Funktionen Jn(x), n ganz.- 3.2 Bessel-Funktionen beliebiger Indizes.- 3.3 Hankel-Funktionen. Neumannsche Funktion.- 3.4 Asymptotische Reihen für × ? ?.- 3.5 Halbzahlige Indizes.- 3.6 Verhalten für große v.- 3.7 Rekursionsformeln.- 3.8 Wronskische Determinanten.- 3.9 Differenzengleichungen zweiter Ordnung und Kettenbrüche.- 3.10 Additionstheorem.- 3.11 Laplace-Transformation von Bessel-Funktionen. Faltungsrelationen.- 3.12 Die Nullstellen der Bessel-Funktionen Jn(x).- 3.13 Reihen nach Bessel-Funktionen Jv+n(x) (Neumannsche Reihen).- 3.14 Reihen nach Jv+n((v +n) x). Kapteynsche Reihen.- 3.15 Modifizierte Zylinderfunktionen.- § 4. Die hypergeometrische Funktion.- 4.1 Die Riemannsche Differentialgleichung.- 4.2 Die hypergeometrische Reihe.- 4.3 Lineare Transformationen.- 4.4 Quadratische Transformationen.- 4.5 Integraldarstellungen.- 4.6 Zusammenhangsrelationen.- 4.7 Rekursionsformeln.- § 5. Kugelfunktionen.- 5.1 Darstellung durch hypergeometrische Funktionen.- 5.2 Gewinnung von Integraldarstellungen und -relationen.- 5.3 Die Legendreschen Polynome Pn(x).- 5.4 Die Funktionen $$P_n^m\left( x \right)\left( {m = 0,1,2, \ldots ;n = m,m + 1,m + 2 \ldots } \right)$$.- 5.5 Kugelflächenfunktionen. Harmonische Polynome.- 5.6 Die Funktionen $$\vartheta _n^m\left( x \right),Q_n^m\left( x \right)\left( {m = 0,1,2, \ldots ;n = m,m + 1,m + 2 \ldots } \right)$$.- 5.7 Kugelfunktionen zu beliebigen Indizes:$${\rm{\beta }}_v^\mu \left( x \right),\tilde D_v^\mu \left( x \right)$$.- 5.8 Zusammenhangsformeln.- 5.9 Die Funktionen $$D_v^\mu ,P_v^\mu ,Q_v^\mu $$.- 5.10 Wronskische Determinanten.- 5.11 Rekursionsformeln.- 5.12 Verhalten für große v oder ?.- 5.13 Differenzengleichungen zweiter Ordnung und Kettenbrüche.- 5.14 Reihen nach Kugelfunktionen.- 5.15 Gegenbauersche Polynome.- 5.16 Separation von ?u = 0 in Toruskoordinaten.- § 6. Konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.1 Die Kummersche Differentialgleichung. Die Funktion ? (a, c; x).- 6.2 Die Whittakersche Differentialgleichung und Funktion.- 6.3 Integraldarstellungen. Die Funktion ?;(a,c;x).- 6.4 Asymptotische Reihen (x groß). Zusammenhangsformeln.- 6.5 Rekursionsformeln.- 6.6 Wronskische Determinanten.- 6.7 Spezielle konfluente hypergeometrische Funktionen.- 6.8 Produktlösungen der Schwingungsgleichung.- § 7. Spezielle Funktionen als Lösungen der „F-Gleichung“.- 7.1 Reduktion von Differentialrekursionsformeln auf die „F-Glei-chung“.- 7.2 Liste von Lösungen der „F-Gleichung“.- 7.3 Differentialformeln.- 7.4 Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Reihenentwicklungen.- 7.5 Integralrelationen.- § 8. Orthogonale Polynome.- 8.1 Allgemeines.- 8.2 Rekursionsformeln.- 8.3 Approximation im quadratischen Mittel.- 8.4 Nullstellen. Numerische Quadratur.- 8.5 Die klassischen Orthogonalpolynome.- 8.5.1 Jacobische oder hypergeometrische Polynome.- 8.5.2 Gegenbauersche oder ultrasphärische Polynome.- 8.5.3 Legendresche Polynome.- 8.5.4 Tschebyscheff-Polynome erster Art.- 8.5.5 Tschebyscheff-Polynome zweiter Art.- 8.5.6 Laguerresche Polynome.- 8.5.7 Hermitesche Polynome.- § 9. Mathieusche Funktionen.- 9.1 Die Mathieusche Differentialgleichung.- 9.2 Der charakteristische Exponent v.- 9.3 Berechnung des charakteristischen Exponenten.- 9.4 Die Eigenwerte ?v(h2), am(h2), bm(h2). Die Stabilitätskarte.- 9.5 Die Funktionen mev(x; h2), cem(x; h2), sem(x; h2).- 9.6 Die modifizierten Mathieuschen Funktionen $$M_v^{\left( j \right)}\left( {x;h} \right),{\rm{Mc}}_m^{\left( j \right)}\left( {x;h} \right),{\rm{Ms}}_m^{\left( j \right)}\left( {x;h} \right)$$.- 9.7 Das Additionstheorem.- 9.8 Reihen nach Zylinderfunktionen. Asymptotische Reihen.- 9.9 Reihen nach Produkten von Bessel- und Zylinderfunktionen.- 9.10 Die Funktionen fem(x; h2), gem(x; h2).- 9.11 Modifizierte Mathieusche Funktionen.- 9.12 Verknüpfungsrelationen.- 9.13 Integralrelationen, Integralgleichungen.- 9.14 Asymptotische Formeln für große h2.- § 10. Sphäroidfunktionen.- 10.1 Die Sphäroiddifferentialgleichung.- 10.2 Der charakteristische Exponent v.- 10.3 Die Funktionen $$\lambda _v^\mu \left( {{y^2}} \right),\tilde Qs_v^\mu \left( {x;{y^2}} \right)\left[ {v \equiv {\textstyle{1 \over 2}}\left( {\bmod 1} \right)} \right]$$.- 10.4 Der Fall v ? ?(mod 1).- 10.5 Die Funktionen Qs, Ps, qs, ps.- 10.6 Die Funktionen $$\lambda _n^\mu \left( {{y^2}} \right),{\rm{Ps}}_n^m\left( {x;{y^2}} \right){\rm{ f\ddot ur }}m = 0,1,2, \ldots ;n = m,m + 1,m + 2, \ldots $$.- 10.7 Die Funktionen $$S_v^\mu \left( {x;y} \right)$$ Asymptotische Reihen.- 10.8 Verknüpfungsrelationen.- 10.9 Ein Additionstheorem.- 10.10 Weitere Reihenentwicklungen und Integralrelationen.- Literatur.- C. Funktionaltransformationen.- I. Einleitung.- § 1. Begriff der Funktionaltransformation.- § 2. Der Hilbertsche Raum L2.- II. Fourier-Transformation.- 1. Theoretische Grundlagen der Fourier-Transformation. Spektralzerlegung von Funktionen.- § 1. Die fundamentale Bedeutung der komplexen Schwingungen für lineare Systeme. Der Frequenzgang.- § 2. Definition der Fourier-Transformation. Spektrale Darstellung allgemeiner Funktionen.- § 3. Formale Relationen. Praktische Berechnung der Fourier-Integrale.- § 4. Die Fourier-Transformation im Raum L1.- § 5. Anschauliche Beispiele von Zeitfunktionen und Spektraldichten.- § 6. Zeitfunktionen und Spektraldichten, die außerhalb eines Intervalls verschwinden. Abtasttheoreme.- § 7. Die Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation.- § 8. Die Fourier-Transformation der schnell abnehmenden Funktionen.- § 9. Die temperierten Distributionen.- § 10. Die Fourier-Transformation der temperierten Distributionen.- § 11. Konvergenz im Raum der temperierten Distributionen.- § 12. Die Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation von temperierten Distributionen.- § 13. Die Fourier-Transformation der Pseudofunktionen.- § 14. Über die Anwendung der Fourier-Transformation zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen.- 2. Fiktive Filtersysteme.- § 15. Der Frequenzgang eines Systems und seine Bedeutung für die Filtertheorie. Begriff des fiktiven Filtersystems.- § 16. Der Begriff der Verzerrung. Systeme mit linearem Phasengang.- § 17. Fiktive Tiefpaßsysteme.- § 18. Fiktive Hochpaßsysteme.- § 19. Fiktive Bandpaßsysteme.- 3. Die Fourier-Transformation im Raum L2 und die einseitige Fourier-Transformation.- § 20. Die Fourier-Plancherel-Transformation.- § 21. Die einseitige Fourier-Transformation und die Hilbert-Transformation.- § 22. Realistische Systeme.- § 23. Realistische Filtersysteme.- III. Laplace-Transformation.- 1. Theoretische Grundlagen der Laplace-Transformation.- § 1. Übergang von der Fourier- zur Laplace-Transformation. Konvergenzeigenschaften des Laplace-Integrals.- § 2. Die Laplace-Transformierte als analytische Funktion.- § 3. Die Umkehrung der Laplace-Transformation. Bestimmung der Originalfunktion zu einer rationalen Funktion durch Partialbruch-zerlegung.- § 4. Die Abbildungsgesetze der Laplace-Transformation.- § 5. Die Laplace-Transformation der Distributionen.- § 6. Die Abbildungsgesetze der Laplace-Transformation von Distributionen.- § 7. Die Laplace-Transformation der Pseudofunktionen.- § 8. Die einseitige Fourier-Transformierte als Randfunktion der Laplace-Transformierten.- § 9. Die Stieltjes-Transformation.- 2. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- § 10. Die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit verschwindenden Anfangswerten. Übertragungsfunktion und Gewichtsfunktion.- § 11. Die homogene Differentialgleichung n-ter Ordnung mit beliebigen Anfangswerten. Die Eigenschwingungen.- § 12. Erregung durch eine Distribution.- § 13. Die Antworten auf spezielle Erregungen.- § 14. Systeme von simultanen Differentialgleichungen; der Normalfall (beliebige Anfangsbedingungen erfüllbar).- § 15. Der anomale Fall des Systems mit erfüllbaren Anfangsbedingungen. Sprungfähige Ausgangsfunktionen.- § 16. Der anomale Fall des Systems mit nicht-erfüllbaren Anfangsbedingungen. Lösung durch Distributionen.- § 17. Vergleich der Methode mit dem in der Technik üblichen Eliminationsverfahren.- 3. Analyse und Synthese von elektrischen Netzwerken.- § 18. Analyse von Zweipolen.- § 19. Synthese von Zweipolen. Reactanzfunktionen und ihre Realisierung.- § 20. Analyse allgemeiner Netzwerke. Das Netzwerk als 2 m-Pol.- § 21. Analyse und Synthese von Vierpolen.- § 22. Graphische Darstellung der Systemgleichungen durch Blockdiagramm und Signalflußdiagramm.- § 23. Graphische Darstellung des Frequenzgangs: Ortskurve, Frequenzcharakteristiken, Bode-Diagramm, Nichols-Diagramm.- 4. Partielle Differentialgleichungen.- § 24. Allgemeine Richtlinien für die Behandlung von partiellen Differentialgleichungen mit Laplace-Transformation.- § 25. Das Gleichungssystem einer elektrischen Doppelleitung mit verteilten Konstanten.- 5. Berechnung der Originalfunktion zu gegebener Bildfunktion durch Reihenentwicklung.- § 26. Entwicklungen in Potenzreihen.- §27. Entwicklung der Originalfunktion nach Laguerreschen Orthogonalfunktionen.- § 28. Entwicklung der zu einer meromorphen Bildfunktion gehörigen Originalfunktion nach Exponentialfunktionen.- § 29. Ein allgemeiner Entwicklungssatz.- 6. Das asymptotische Verhalten der Bildfunktion und der Originalfunktion.- § 30. Allgemeiner Begriff der asymptotischen Darstellung und asymptotischen Entwicklung von Funktionen.- § 31. Der Anfangswertsatz und der Endwertsatz.- § 32. Asymptotische Entwicklung der Bildfunktion für s ? ?.- § 33. Asymptotische Entwicklung eines verallgemeinerten Laplace-Inte-grals. Methode der Sattelpunkte.- § 34. Asymptotische Entwicklung der Originalfunktion, wenn die Bildfunktion als Singularitäten nur Pole hat..- § 35. Asymptotische Entwicklung der Originalfunktion, wenn die Bildfunktion an der singulären Stelle mit größtem Realteil mehrdeutig ist.- § 36. Anwendungsbeispiel: Der stationäre Zustand einer Doppelleitung bei sinusartiger Eingangsspannung.- IV. Zweiseitige Laplace-Transformation und M ellin-Transformation.- 1. Zweiseitige Laplace-Transformation.- § 1. Definition und Konvergenzeigenschaften der zweiseitigen Laplace-Transformation.- § 2. Die Umkehrung der zweiseitigen Laplace-Transformation.- § 3 Die Abbildungsgesetze der zweiseitigen Laplace-Transformation.- § 4. Über die Lösung von Differential- und Integralgleichungen vermittels zweiseitiger Laplace-Transformation.- 2. Mellin-Transformation.- § 5. Die Mellin-Transformation und ihre Umkehrung.- § 6. Die Abbildungsgesetze der Mellin-Transformation.- § 7. Lösung von Differentialgleichungen mit Potenzkoeffizienten vermittels Mellin- und Hankel-Transformation.- V. Zweidimensionale Laplace-Transformation.- § 1. Definition und Konvergenzeigenschaften der zweidimensionalen Laplace-Transformation. Holomorphie der Bildfunktion.- § 2. Die Abbildungsgesetze der zweidimensionalen Laplace-Transformation.- § 3. Lösung von partiellen Differentialgleichungen vermittels zweidimensionaler Laplace-Transformation.- VI. ?-Transformation.- 1. Theoretische Grundlagen der ?-Transformation.- § 1. Definition und Konvergenzeigenschaften der ?-Transformation.- § 2. Die Umkehrung der ?-Transformation.- § 3. Die Abbildungsgesetze der ?-Transformation.- § 4. Das asymptotische Verhalten der Originalfolge und der Bildfunktion.- 2. Differenzengleichungen.- § 5. Die allgemeine Differenzengleichung.- § 6. Die Differenzengleichung zweiter Ordnung.- § 7. Ein System von Differenzengleichungen. Der elektrische Kettenleiter aus gleichen Vierpolen.- 3. Impulselemente und impulsgesteuerte Systeme.- § 8. L- und ?-Transformation der von einem Impulselement gelieferten Werte.- § 9. Impulsgesteuerte Systeme (Abtastsysteme).- VII. Endliche Transformationen.- 1. Endliche Fourier-Transformation.- § 1. Endliche Exponentialtransformation.- § 2. Endliche sin- und cos-Transformation.- § 3. Randwertprobleme für gewöhnliche Differentialgleichungen.- § 4. Vergleich mit der klassischen Methode der Fourier-Reihen.- § 5. Andere Randwerte als die von der Transformation geforderten.- § 6. Ein Randwertproblem für ein System von simultanen Differentialgleichungen (mehradriges Kabel).- § 7. Ein Randwertproblem für eine partielle Differentialgleichung.- 2. Endliche Laplace-Transformation.- § 8. Die Abbildungsgesetze der endlichen Laplace-Transformation.- § 9. Randwertprobleme für eine gewöhnliche Differentialgleichung.- 3. Endliche Transformationen, die spezielle Differentialoperatoren eliminieren.- § 10. Endliche Hankel-Transformation.- § 11. Legendre-Transformation.- Distributionstheorie.- Der Begriff der Funktion in neuer Auffassung.- Das durch eine Funktion bestimmte Funktional.- Die allgemeine Distribution.- Die Derivierten einer Distribution.- Der Träger einer Distribution.- Multiplikation einer Distribution mit einer Funktion.- Faltung zweier Distributionen.- Pseudofunktionen.- Literatur.- Tabellen.