Nichtlineare Stabstatik

1 Einführung.- 1.1 Aufgabe der baustatischen Berechnung.- 1.2 Grundsätzliches zum Lösungsweg.- 1.2.1 Die wichtigsten Idealisierungen der linearen Stabstatik.- 1.2.2 Zur linearen Theorie gerader Stäbe.- 2 Beispiele für lineares und nichtlineares Verhalten.- 2.1 Vorbemerkungen.- 2.2 Genaue Verschiebungsgeometrie und Gleichgewicht am verformten System.- 2.3 Genaue konstitutive Beziehungen.- 2.3.1 Dehnungs-Verschiebungs-Beziehungen.- 2.3.2 Die Elastizitätsgesetze für die Schnittgrößen.- 2.3.3 Gegenüberstellung von geometrisch linearer und nichtlinearer Theorie.- 2.4 Nichtlineares Materialverhalten.- 2.4.1 Allgemeines.- 2.4.2 Nichtlinear elastisches Materialverhalten.- 2.4.3 Idealisierende Ansätze bei Werkstoff-Nichtlinearität.- 2.5 Systeme veränderlicher Gliederung.- 2.5.1 Begriffsbestimmung.- 2.5.2 Anwendungsbeispiele.- 2.6 Stabilitätsprobleme.- 2.7 Zusammenfassung.- 3 Sicherheitsbetrachtungen.- 3.1 Allgemeine Anforderungen an Sicherheitskonzepte.- 3.2 Bemessung unter Zugrundelegung von zulässigen Spannungen.- 3.3 Bemessung unter Zugrundelegung von Traglasten.- 3.3.1 Erläuterung verschiedener Nachweiskonzepte.- 3.3.2 Globale Sicherheitsfaktoren und Teilsicherheitsfaktoren.- 3.3.3 Schlußfolgerungen.- 3.4 Wahrscheinlichkeitstheoretisch begründete Methoden.- 3.5 Vergleich verschiedener Sicherheitskonzepte an einem Beispiel.- 4 Geometrische Nichtlinearität.- 4.1 Abschätzungskriterien, Klassifizierung.- 4.1.1 Die wesentlichen Problemgruppen.- 4.1.2 Das Biegeproblem.- 4.1.3 Das Längskraftproblem.- 4.1.4 Zusammenfassung und Klassifizierung.- 4.2 Elastizitätstheorie II. Ordnung.- 4.2.1 Bezeichnungen, Voraussetzungen.- 4.2.2 Definition der Schnittgrößen.- 4.2.3 Differentialbeziehung zwischen Verschiebung und Belastung.- 4.2.4 Baustatischer Regelfall.- 4.2.5 Lösung der Differentialgleichung.- 4.2.6 Anmerkungen zur Superposition.- 4.2.7 Anwendungsbeispiel: Druckstab mit Querbelastung.- 4.2.8 Baustatische Verfahren der Th.II.O.- 4.3 Das Verfahren von Mann (Drehwinkelverfahren) für Th.II.0.- 4.3.1 Vorbemerkungen.- 4.3.2 Voraussetzungen und Definitionen.- 4.3.3 Beziehungen zwischen Stabendmomenten und Drehwinkeln.- 4.3.4 Allgemeine Knotengleichung der Th.II.O.- 4.3.5 Allgemeiner Lösungsweg bei Systemen mit unverschieblichen Knoten.- 4.3.6 Anwendungsbeispiel: Rahmen mit unverschieblichen Knoten.- 4.3.7 Extremale Schnittgrößen.- 4.3.8 Allgemeine Netzgleichung der Th.II.O.- 4.4 Imperfektionen.- 4.4.1 Definitionen und Annahmen.- 4.4.2 Herleitung der Differentialgleichung.- 4.4.3 Lösung der Differentialgleichung.- 4.4.4 Einbeziehung von Vorverformungen in das Drehwinkelverfahren.- 4.5 Anwendungsbeispiel: Trapezrahmen mit elastisch verschieblichen Knoten.- 4.5.1 Vorbemerkungen.- 4.5.2 System und Belastung.- 4.5.3 Festeinspannmomente.- 4.5.4 Geometrisch Unbekannte, Verschiebungszustände.- 4.5.5 Gleichungssystem für die geometrisch Unbekannten.- 4.5.6 Schätzung der Längskräfte.- 4.5.7 Schnittgrößen nach Th.II.O.- 4.5.8 Lastfall Vorverformungen.- 4.5.9 Hinweise zur Bemessung.- 4.5.10 Geänderte Belastung: Vorwiegende Längskraftbeanspruchung.- 4.5.11 Anhang: Bemessungsdiagramm für Biegemoment mit Längskraft.- 4.6 Zusammenfassung.- 5 Stabilitätsprobleme der Elastostatik.- 5.1 Überblick.- 5.2 Erläuterung des Stabilitätsbegriffs in der Baustatik.- 5.2.1 Gegenüberstellung von Spannungs- und Stabilitätsproblemen.- 5.2.2 Stabilitätsprobleme als Fälle von Mehrdeutigkeit.- 5.2.3 Ursachen und Auswirkungen von Stabilitätsproblemen.- 5.3 Durchschlagprobleme.- 5.4 Verzweigungsprobleme.- 5.5 Klassische Näherung für Stabilitätsprobleme.- 5.5.1 Allgemeines.- 5.5.2 Differentialgleichungsmethode.- 5.5.3 Verfahren von Mann (Drehwinkelverfahren).- 5.5.4 Gültigkeitsgrenzen der klassischen Näherung.- 5.6 Weitere Beispiele für Verzweigungsprobleme.- 5.6.1 Anmerkungen zur Klassifizierung.- 5.6.2 Biegedrillknicken.- 5.6.3 Kippen.- 5.6.4 Torsionsknicken.- 5.6.5 Zusammengesetzte Stabilitätsprobleme.- 5.6.6 Verzweigungsprobleme bei statisch unbestimmtem Grundzustand.- 6 Werkstoff-Nichtlinearität (physikalische Nichtlinearität).- 6.1 Vorbemerkungen.- 6.2 Approximationen des nichtlinearen Werkstoffverhaltens.- 6.2.1 Übersicht.- 6.2.2 Potenzreihenansatz.- 6.2.3 Allgemeine bilineare Approximation.- 6.2.4 Sonderfall der bilinearen Approximation (linear elastisch - ideal plastisches Werkstoffgesetz).- 6.3 Interaktion der Schnittgrößen.- 6.3.1 Grundgedanke.- 6.3.2 Biegemoment mit Längskraft.- 6.3.3 Biegemoment mit Querkraft.- 6.3.4 Längskraft mit Querkraft.- 6.3.5 Biegemoment mit Längs- und Querkraft.- 6.3.6 Vereinfachte, linearisierte Interaktionsbedingungen.- 6.4 Nachweis der Grenzlast am Gesamttragwerk.- 6.5 Fließgelenktheorie I. Ordnung.- 6.5.1 Allgemeines.- 6.5.2 Zugkraftbeanspruchung.- 6.5.3 Träger mit Streckenlast unter Berücksichtigung der M-Q-Interaktion.- 6.5.4 Berechnung der Traglast mit Hilfe der Traglastsätze.- 6.5.5 Berechnung der Traglast mit Hilfe der Elastizitätstheorie.- 6.5.6 Ermittlung von Verschiebungsgrößen.- 7 Geometrische und physikalische Nichtlinearität.- 7.1 Allgemeines.- 7.2 Vorgehensweise, dargestellt am von-Mises-Fachwerk.- 7.2.1 Das auf Zug beanspruchte System.- 7.2.2 Das auf Druck beanspruchte System.- 7.2.3 Zusammenfassung der Untersuchungen am von-Mises-Fachwerk.- 7.3 Allgemeines zur Fließgelenktheorie II. Ordnung.- 7.4 Schrittweise Berechnung der Traglast mit Hilfe der Differentialgleichungsmethode.- 7.4.1 System und Belastung, Vorbemerkungen.- 7.4.2 Berechnung im elastischen Bereich.- 7.4.3 Zustand bis zur Ausbildung des zweiten Fließgelenks.- 7.4.4 Untersuchung der Fließgelenkkette.- 7.5 Zusammenfassung und Vergleich von F.G.Th.II.O. mit F.G.Th.I.O..- 7.6 Das Drehwinkelverfahren für die Fließgelenktheorie II. Ordnung.- 7.6.1 Vorbemerkungen.- 7.6.2 Vorzeichendefinition des Knickwinkels und des Biegemoments im Fließgelenk.- 7.6.3 Beziehungen zwischen Stabendmomenten und geometrisch Unbekannten.- 7.6.4 Allgemeine Knotengleichung.- 7.6.5 Beziehungen zwischen dem Biegemoment im Feld und den geometrisch Unbekannten.- 7.6.6 Allgemeine Momentengleichung am Fließgelenk.- 7.6.7 Lage des Fließgelenks im Feld eines Stabes bei konstanter Streckenlast und bei Vorverformungen.- 7.6.8 Anwendungsbeispiel: Zweigeschossige Stütze.- 7.6.9 Allgemeine Netzgleichung.- 7.6.10 Allgemeiner Lösungsweg für Systeme mit elastisch verschieblichen Knoten.- 7.6.11 Anwendungsbeispiel: Rahmen mit elastisch verschieblichen Knoten.- 8 Ergänzende Betrachtungen zum Tragsicherheitsnachweis, Näherungsverfahren.- 8.1 Vorbemerkungen.- 8.2 Zur Elastizitätstheorie II. Ordnung und Stabilität.- 8.2.1 Spannungs- und zugehöriges Knickproblem.- 8.2.2 Nachweis des stabilen Gleichgewichtszustands.- 8.2.3 Verzweigung bei Spannungsproblemen.- 8.2.4 Ungünstige Vorverformungen, affine Lastfälle und der Dischinger-Faktor.- 8.3 Zum Tragsicherheitsnachweis bei physikalischer Linearität.- 8.3.1 Übersicht.- 8.3.2 Verhältnis von Bemessungslast und Knicklast.- 8.3.3 Unterschied der Ergebnisse nach Th.I.O. und E.Th.II.O.- 8.3.4 Überschlägliche Bemessung mit Hilfe der Th.I.O. und des Dischinger-Faktors.- 8.3.5 Überschlägliche Bemessung mit Hilfe der Th.I.O. und zusätzlicher Ersatzbelastungen anstelle von Vorverformungen.- 8.4 Zum Tragsicherheitsnachweis bei geometrischer und physikalischer Nichtlinearität: Ersatzstabverfahren.- 8.4.1 Vorbemerkungen.- 8.4.2 Grundgedanke der Ersatzstabverfahren.- 8.4.3 Planmäßig zentrische Beanspruchung.- 8.4.4 Planmäßige Biegemomente.- 8.4.5 Vor- und Nachteile der Ersatzstabverfahren.- 8.5 Zum Tragsicherheitsnachweis bei Durchschlagproblemen.- 8.5.1 Übersicht.- 8.5.2 Die Stabkennlinie.- 8.5.3 Traglastkurven für das von-Mises-Fachwerk.- 8.5.4 Statisch unbestimmtes Tragwerk.- 8.6 Zusammenfassung.