Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker

V Interpolation, Approximation und numerische Integration.- 11 Interpolation und Approximation.- 11.1 Interpolation durch Polynome.- 11.1.1 Das Lagrangesche Interpolationspolynom.- 11.1.2 Das Restglied bei der Lagrange-Interpolation.- 11.1.3 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2 Gleichabständige Stützwerte. Interpolation in zwei Variablen.- 11.2.1 Das Newtonsche Interpolationspolynom.- 11.2.2 Darstellung des Fehlers.- 11.2.3 Interpolation bei Funktionen von zwei unabhängigen Veränderlichen.- 11.3 Ergänzungen zur Interpolation. Numerische Differentiation.- 11.3.1 Hermite-Interpolation.- 11.3.2 Inverse Interpolation.- 11.3.3 Interpolation als Approximationsprozeß.- 11.3.4 Numerische Differentiation.- 11.4 Approximation durch Polynome.- 11.4.1 Das allgemeine Approximationsproblem.- 11.4.2 Die Polynomapproximation.- 11.5 Approximation durch allgemeinere Funktionen.- 11.5.1 Approximation durch eine Linearkombination von Funktionen.- 11.5.2 Approximation durch eine Linearkombination von Orthogonalfunktionen.- 11.6 Approximation mit Orthogonalpolynomen.- 11.6.1 Konvergenzfragen.- 11.6.2 Legendresche Polynome.- 11.6.3 Orthogonalpolynome bezüglich einer Gewichtsfunktion*.- 11.7 Approximation periodischer Funktionen.- 11.7.1 Trigonometrische Approximation.- 11.7.2 Näherungsformeln für die Fourierkoeffizienten.- 11.7.3 Komplexe Form der trigonometrischen Approximation.- 11.8 Approximation empirischer Funktionen.- 11.8.1 Die Methode der kleinsten Fehlerquadratsumme.- 11.8.2 Approximation durch Polynome.- 11.8.3 Approximation periodischer Funktionen, schnelle Fourierapproximation*.- 11.9 Zweidimensionale Approximation*.- 11.10 Orthogonale Anpassung*.- 12 Spline—Interpolation.- 12.1 Interpolation durch stückweise lineare Funktionen.- 12.1.1 Die Konstruktion des Polygonzuges.- 12.1.2 Darstellung mit Hilfe von Basisfunktionen.- 12.2 Definition der kubischen Splines.- 12.2.1 Eigenschaften der Spline-Funktion.- 12.2.2 Die mathematische Definition des Splines.- 12.3 Der kubische Interpolationsspline.- 12.3.1 Berechnung des Splines.- 12.3.2 Der Algorithmus.- 12.4 Fehlerbetrachtungen.- 12.5 Weitere Splinekonstruktionen.- 12.6 Darstellung differenzierbarer Kurven durch Splinefunktionen*.- 12.7 Basis-Darstellung der kubischen Spline-Funktionen.- 12.8 Zweidimensionale Spline-Interpolation*.- 12.9 Beispiel.- 13 Numerische Integration.- 13.1 Quadraturformeln vom Newton-Cotes-Typ.- 13.1.1 Interpolations-Quadraturformeln.- 13.1.2 Die Newton-Cotes-Formeln.- 13.2 Summierte Quadraturformeln.- 13.2.1 Das Verfahren.- 13.2.2 Das Restglied summierter Quadraturformeln.- 13.3 Romberg-Integration.- 13.3.1 Das Prinzip.- 13.3.2 Der Algorithmus.- 13.3.3 Der Fehler bei der Romberg-Integration.- 13.3.4 Ergänzungen.- 13.4 Das Gaußsche Quadraturverfahren.- 13.4.1 Eine Optimalitätsforderung.- 13.4.2 Berechnung der Stützstellen und Gewichte.- 13.4.3 Ergänzungen.- 13.5 Adaptive Quadratur und Kontrolle des Quadraturfehlers*.- 13.6 Numerische Berechnung uneigentlicher Integrale.- 13.7 Numerische Kubatur.- 13.7.1 Tensorprodukt-Methoden*.- 13.7.2 Summierte Kubaturverfahren.- VI Numerische Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 14 Anfangsprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 14.1 Einfache Einschritt-Verfahren.- 14.1.1 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 14.1.2 Explizite Einschritt-Verfahren.- 14.1.3 Das Polygonzug verfahren.- 14.1.4 Verbesserte Polygonzugverfahren.- 14.2 Runge-Kutta-Verfahren.- 14.2.1 Allgemeine Herleitung der Verfahren.- 14.2.2 Das klassische Runge-Kutta-Verfahren.- 14.3 Konsistenz und Konvergenz.- 14.3.1 Konsistente Verfahren.- 14.3.2 Die Konsistenzordnung einiger Einschritt-Verfahren.- 14.3.3 Ein Satz über die Konvergenzordnung.- 14.3.4 Systeme von Differentialgleichungen.- 14.4 Schrittweitensteuerung und Kontrolle des globalen Diskretisierungs- fehlers*.- 14.5 Ergänzungen zur Theorie der Einschritt-Verfahren.- 14.5.1 Rundungsfehlereinfluß.- 14.5.2 Parameterabhängige Differentialgleichungen*.- 14.5.3 Differentialgleichungen mit unstetiger bzw. nicht differenzierbarer rechter Seite*.- 14.6 Mehrschritt-Verfahren.- 14.6.1 Einführung.- 14.6.2 Kurzer Uberblick über die Theorie der Mehrschritt-Verfahren.- 14.6.3 Anwendung von Mehrschritt-Verfahren in der Praxis*.- 14.7 Steife Differentialgleichungen.- 14.7.1 Einführung.- 14.7.2 Lineare Stabilität von Diskretisierungsverfahren für Anfangswertprobleme.- 14.7.3 Nichtlineare Stabilität*.- 14.7.4 Implizite Runge-Kutta-Verfahren und Rosenbrock-Verfahren*.- 14.8 Differentialgleichungen in impliziter Form*.- 15 Rand— und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 15.1 Problemstellung. Einige Ergebnisse der Theorie.- 15.1.1 Definition des allgemeinen Randwertproblems.- 15.1.2 Selbstadjungierte Differentialgleichungen.- 15.1.3 Randwertprobleme bei Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 15.1.4 Randbedingungen beim Problem der Balkenbiegung.- 15.2 Differenzenverfahren.- 15.2.1 Lineare Randwertprobleme 2. Ordnung.- 15.2.2 Nichtlineare Randwertprobleme zweiter Ordnung.- 15.2.3 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 15.3 Variationsmethoden und Ritzsches Verfahren.- 15.3.1 Randwertproblem und Variationsproblem.- 15.3.2 Das Ritzsche Verfahren.- 15.3.3 Zur praktischen Durchführung des Ritzschen Verfahrens.- 15.4 Die Methode der finiten Elemente.- 15.4.1 Stückweise lineare Ansatzfunktionen.- 15.4.2 Kubische Splines als Ansatzfunktionen.- 15.4.3 Fehlerordnung. Ergänzungen*.- 15.5 Schieß verfahren.- 15.5.1 Einfachschieß verfahren.- 15.5.2 Das numerische Einfachschießverfahren.- 15.5.3 Das Schieß verfahren für nicht lineare Randwertaufgaben*.- 15.6 Differenzenverfahren zur Lösung einfacher Eigenwertprobleme.- 15.6.1 Das Eigenwertproblem.- 15.6.2 Das Differenzenverfahren.- 15.7 Ergänzungen.- 15.7.1 Elementares Beispiel bei Anwendung nichtäquidistanter Gitter.- 15.7.2 Differentialgleichung 4. Ordnung.- VII Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen.- 16 Differenzenverfahren.- 16.1 Klassifizierung. Charakteristiken.- 16.1.1 Lineare, halblineare und quasilineare Gleichungen 2. Ordnung.- 16.1.2 Typeneinteilung.- 16.1.3 Charakteristiken.- 16.2 Lineare und halblineare hyperbolische Anfangswertprobleme.- 16.2.1 Normalform und Anfangswertproblem.- 16.2.2 Das Differenzenverfahren.- 16.3 Explizite Differenzenverfahren.- 16.3.1 Problemstellung.- 16.3.2 Ein explizites Einschritt-Differenzenverfahren.- 16.3.3 Konvergenz des Verfahrens.- 16.4 Implizite Differenzenverfahren.- 16.4.1 Konstruktion der Verfahren.- 16.4.2 Konvergenz der Verfahren.- 16.4.3 Nichtlineare Probleme.- 16.5 Die Linienmethode.- 16.5.1 Das Prinzip des Verfahrens.- 16.5.2 Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme.- 16.5.3 Nichtlineare parabolische Differentialgleichungen.- 16.6 Ergänzungen.- 16.6.1 Parabolische Probleme in 2 und 3 Raumvariablen*.- 16.6.2 Differentialgleichungen in der Strömungsmechanik*.- 17 Hyperbolische Systeme 1. Ordnung.- 17.1 Einige Grundlagen der Theorie.- 17.1.1 Klassifizierung.- 17.1.2 Normalform.- 17.1.3 Charakteristiken.- 17.1.4 Das Anfangswertproblem.- 17.1.5 Beispiele hyperbolischer Systeme 1. Ordnung in der Strömungsmechanik.- 17.2 Charakteristikenverfahren.- 17.2.1 Das Prinzip.- 17.2.2 Der lineare Fall.- 17.2.3 Der allgemeine quasilineare Fall.- 17.3 Differenzenverfahren in Rechteckgittern.- 17.3.1 Das Anfangswertproblem.- 17.3.2 Das Differenzenverfahren.- 17.3.3 Zwei spezielle Verfahren.- 17.3.4 Konvergenz der Differenzenverfahren.- 18 Randwertprobleme elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 18.1 Elliptische Randwertprobleme.- 18.1.1 Formulierung der Randwertprobleme.- 18.1.2 Randwertprobleme und Variationsprobleme.- 18.1.3 Allgemeine Variationsprobleme und Randwertprobleme.- 18.2 Differenzenverfahren.- 18.2.1 Das Modellproblem.- 18.2.2 Konvergenz des Differenzenverfahrens.- 18.2.3 Krummlinig berandete Gebiete.- 18.2.4 Variationsprobleme und nichtlineare Randwertaufgaben.- 18.3 Das Ritzsche Verfahren und die Methode der finiten Elemente.- 18.3.1 Das Ritzsche Verfahren.- 18.3.2 Die einfachste Methode der finiten Elemente.- 18.3.3 Die praktische Aufstellung des FE-Gleichungssystems*.- 18.3.4 Ansatzfunktionen höherer Ordnung.- 18.3.5 Isoparametrische Elemente*.- 18.3.6 Die Methode der finiten Elemente bei nichtlinearen Problemen.- 18.3.7 Ergänzungen.- 19 Lösung diskretisierter Randwertprobleme durch iterative Mehrgitterverfahren.- 19.1 Das eindimensionale Modellproblem.- 19.1.1 Das Modellproblem.- 19.1.2 Glättende Iterationen.- 19.1.3 Ein Zweigitterverfahren.- 19.1.4 Mehrgitterverfahren.- 19.2 Randwertprobleme der Poisson-Gleichung.- 19.2.1 Glättende Iterationen.- 19.2.2 Restriktion und Prolongation.- 19.2.3 Mehrgitterverfahren.- 19.2.4 Rechenaufwand.- 19.2.5 Schlußbemerkungen.- 20 Hinweise zu weiteren Verfahren für Randwertprobleme und Integralgleichungen.- 20.1 Kollokationsverfahren.- 20.2 Die Randelementmethode*.- 20.3 Hinweise zur Lösung von Integralgleichungen*.