Optimierungsaufgaben

I. Lineare Optimierung.- § 1. Einführung.- 1.1. Grundtyp der Optimierungsaufgaben.- 1.2. Der Grundtyp in Matrizenschreibweise.- § 2. Lineare Optimierung und Polyeder.- 2.1. Zulässige Punkte und Minimalpunkte.- 2.2. Weitere Ergebnisse über Ecken und Minimalpunkte.- 2.3. Basis einer Ecke.- § 3. Eckenaustausch und Simplexmethode.- 3.1. Eckenaustausch.- 3.2. Simplexverfahren.- 3.3. Entartete Ecken.- 3.4. Bestimmung einer Ausgangsecke.- § 4. Algorithmische Durchführung des Simplexverfahrens.- 4.1. Beschreibung des Schemas.- 4.2. Durchführung eines Austauschschrittes.- 4.3. Beispiel.- 4.4. Simplexmethode bei Gleichungen als Nebenbedingungen.- 4.5. Nachträgliche Hinzufügung einer Variablen.- 4.6. Simplexverfahren mit Variablen ohne Vorzeichenbeschränkung.- 4.7. Sonderformen des Simplexverfahrens.- A. Das revidierte Simplexverfahren.- B. Das duale Simplexverfahren.- C. Ganzzahlige lineare Optimierung.- 4.8. Transportaufgaben und ihre Lösung durch das Simplexverfahren.- § 5. Duale lineare Optimierungsaufgaben.- 5.1. Dualität bei Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.- 5.2. Symmetrische duale Probleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen.- 5.3. Dualität bei gemischten Problemen.- 5.4. Lineare Optimierung und Dualität in der Baustatik.- 5.5. Alternativsätze für Systeme von linearen Gleichungen und Ungleichungen.- 5.6. Ein zweiter Weg zur Behandlung der Dualität.- 5.7. Lineare Optimierungsaufgaben mit unendlich vielen Restriktionen.- II. Konvexe Optimierung.- § 6. Einführung.- 6.1. Nichtlineare Optimierungsaufgaben.- 6.2. Konvexe Funktionen.- 6.3. Konvexe Optimierungsaufgaben.- 6.4. Weitere Typen nichtlinearer Optimierungsaufgaben.- 6.5. Einfache Sätze über die Varianten der Konvexität.- 6.6. Klassifikation nichtlinearer differenzierbarer Optimierungsaufgaben.- 6.7. Klassen konvexer und pseudokonvexer Funktionen.- 6.8. Weitere Beispiele stetiger Optimierungsaufgaben.- 6.9. Beispiele ganzzahliger Optimierungen.- § 7. Charakterisierung einer Minimallösung bei konvexer Optimierung.- 7.1. Sattelpunktsatz von Kuhn und Tucker.- 7.2. Einschließungssatz.- § 8. Konvexe Optimierung mit differenzierbaren Funktionen.- 8.1. Lokale Kuhn-Tucker-Bedingungen.- 8.2. Eine Charakterisierung der Menge der Minimallösungen.- 8.3. Konvexe Optimierung mit differenzierbaren Funktionen.- 8.4. Definitheitsbedingungen bei nichtlinearen Optimierungsaufgaben.- § 9. Konvexe Optimierung mit affin-linearen Restriktionsfunktionen.- 9.1. Ein Satz über konvexe Funktionen.- 9.2. Der Kuhn-Tucker-Satz für Optimierungsaufgaben mit affinlinearen Restriktionsfunktionen und konvexer Zielfunktion.- § 10. Numerische Behandlung von konvexen Optimierungsaufgaben.- 10.1. Die Methode der Schnittebenen. Herleitung und Konvergenzbeweis.- 10.2. Zur numerischen Durchführung der Methode der Schnittebenen.- III. Quadratische Optimierung.- § 11. Einführung.- 11.1. Definitionen.- 11.2. Zuteilungen und quadratische Optimierung.- § 12. Kuhn-Tucker-Satz und Anwendungen.- 12.1. Spezialisierung des Kuhn-Tucker-Satzes auf quadratische Optimierungsaufgaben.- 12.2. Existenz einer Lösung und Einschließungssatz.- 12.3. Der Kuhn-Tucker-Satz für quadratische Optimierungsaufgaben mit verschiedenen Typen von Restriktionen.- A. Nebenbedingungen in Form von Gleichungen.- B. Nicht vorzeichenbeschränkte Variable.- § 13. Dualität bei quadratischer Optimierung.- 13.1. Formulierung des dualen Problems.- 13.2. Der Dualitätssatz.- 13.3. Symmetrische Form des Dualitätssatzes.- § 14. Numerische Behandlung von quadratischen Optimierungsaufgaben.- 14.1. Das Verfahren der Schnittebenen bei quadratischen Optimierungsaufgaben.- 14.2. Beispiel zum Verfahren der Schnittebenen.- 14.3. Das Verfahren von Wolfe.- 14.4. Beispiel zum Verfahren von Wolfe.- IV. Tschebyscheff-Approximation und Optimierung.- § 15. Einführung.- 15.1. Approximation als Optimierung.- 15.2. Verschiedene Typen von Approximationsaufgaben.- 15.3. Randwertaufgaben bei elliptischen Differentialgleichungen und Tschebyscheff-Approximation.- 15.4. Kontrahierende Abbildungen in pseudometrischen Räumen und einseitige Tschebyscheff-Approximation.- 15.5. Randwertaufgaben und Optimierung.- § 16. Diskrete lineare Tschebyscheff-Approximation.- 16.1. Zurückführung auf lineare Optimierungsaufgaben.- 16.2. Dualisierung.- 16.3. Weitere Aufgaben der diskreten T-Approximation.- A. Diskrete lineare T-Approximation mehrerer Funktionen.- B. Diskrete einseitige T-Approximation.- C. Eingeschränkte Fehlerquadratmethode.- § 17. Weitere Typen von Approximationsaufgaben.- 17.1. Diskrete nichtlineare Tschebyscheff-Approximation.- 17.2. Lineare kontinuierliche Tschebyscheff-Approximation.- 17.3. Nichtlineare Approximationen, bei denen nichtkonvexe Optimierungsaufgaben auftreten.- 17.4. Distanzierungsaufgaben und Optimierung.- 17.5. Lineare T-Approximation im Komplexen.- V. Elemente der Spieltheorie.- § 18. Matrix-Spiele (Zweipersonen-Nullsummenspiele).- 18.1. Definition und Beispiele.- 18.2. Strategien.- 18.3. Erreichbarer Gewinn und Sattelpunkts-Spiele.- 18.4. Der Hauptsatz der Theorie der Matrixspiele.- 18.5. Matrixspiele und lineare Optimierungsaufgaben.- 18.6. Beispiele für die Durchrechnung von Matrixspielen mit Hilfe des Simplexverfahrens.- § 19. n-Personen-Spiele.- 19.1. Einführung.- 19.2. Nicht kooperative Spiele.- 19.3. Kooperative n-Personen-Nullsummenspiele.- 19.4. Charakteristische Funktion des Spieles.- 19.5. Strategisch äquivalente Spiele. Wesentliche Spiele.- 19.6. Symmetrische n-Personenspiele.- 1. Der Trennungssatz.- 2. Ein Existenzsatz für quadratische Optimierungsaufgaben.- Aufgaben.- Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.