Leopold Fejér Gesammelte Arbeiten I

>an asymptotisch darstellt«, wenn . a;n 1 1m--= 1, n=oow(n) oder anders ausgedrückt, wenn a:n = w(n) (1 + Bn), wobei Wir werden dies mit bezeichnen. Zur Bestimmung eines solchen asymptotischen Ausdrucks w(n) hat DAR­ Boux1 eine sehr allgemeine Methode gegeben. Er bildet die Potenzreihe (1) der komplexen Veränderlichen z und zeigt, daß der asymptotische Wert von a:n von denjenigen Singularitätastellen der analytischen Funktion f(z) abhängt, die auf der Peripherie des Konvergenzkreises der Potenzreihe (1) liegen. Ich werde jetzt mit einigen Worten die DARBOUXschen Resultate dar­ legen. Damit die DARBouxsche Methode anwendbar sei, muß notwendigerweise vorausgesetzt werden, daß der Radius des Konvergenzkreises der Potenz­ reihe (l) eine von Null und von + oo verschiedene positive Zahl R ist. Nehmen wir ferner an, daß die Anzahl der Singularitätastellen (JylJ = \Y2\ = · · · = JykJ = R) der Funktionf(z) (eigentlich der durch die Reihe (1) gewinnbaren unmittel­ baren analytischen Fortsetzung derselben) auf dem Konvergenzkreis mit dem Radius R endlich ist. Da nun DARBOUX beweist, daß die Singularitäta­ stellen Yv y , ••• , Yk solche >>Teile