Theoretical Fluid Dynamics

<div>1 Description of fluids 5</div><div>1.1 Euler and Lagrange picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</div><div>1.2 Lagrange derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</div><div>1.3 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8</div><div>1.4 Divergence-free vector field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10</div><div>1.5 Fluid boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</div><div>1.6 Phase space fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</div><div>1.7 Moving fluid line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</div><div>1.8 Internal fluid stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</div><div>1.9 Fluid equations from kinetic theory . . . . . . . . . . . . . . . 29</div><div>1.10 Streamlines and Pathlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</div>1.11 Vortex line, vortex tube and line vortex . . . . . . . . . . . . . 33<div>1.12 Vortex sheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37</div><div>1.13 Vector gradient in cylindrical coordinates . . . . . . . . . . . . 39</div><div>1.14 Vector gradient in orthogonal coordinates . . . . . . . . . . . . 41</div><div>1.15 Vorticity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45</div><div>1.16 Velocity from vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47</div><div>1.17 Bernoulli equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50</div><div>1.18 Euler-Lagrange equation for fluids . . . . . . . . . . . . . . . . 52</div><div>1.19 Water waves from Euler-Lagrange equations . . . . . . . . . . 58</div><div>1.20 Stretching in an isotropic random velocity field . . . . . . . . 63</div><div>1.21 Converse Poincaré lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</div><div><br></div><div>2 Flows in the complex plane 79</div><div>2.1 Laplace equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</div><div>2.2 Green’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81</div><div>2.3 Dirichlet and Neumann boundary conditions . . . . . . . . . . 82</div><div>2.4 Mean value and maximum property . . . . . . . . . . . . . . . 83</div>2.5 Logarithmic potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<div>2.6 Dirichlet’s principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88</div><div>2.7 Streamfunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92</div><div>2.8 Vorticity on a sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</div><div>2.9 Complex speed and potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96</div><div>2.10 Analytic functions, conformal transformation . . . . . . . . . 98</div><div>2.11 Schwarz-Christoffel theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100</div><div>2.12 Mapping of semi-infinite and infinite strips . . . . . . . . . . . 106</div><div>2.13 Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108</div><div><br></div><div>3 Vortices, corner flow and flow past plates 117</div><div>3.1 Straight vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117</div><div>3.2 Corner flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120</div><div>3.3 Corner flow with viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122</div><div>3.4 Flow past a flat plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129</div><div>3.5 Blasius and Kutta-Jukowski theorems . . . . . . . . . . . . . . 132</div><div>3.6 Plane flow past a cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135</div><div>3.7 Kármán vortex street . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137</div><div>3.8 Corner eddy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150</div><div>3.9 Angular momentum transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155</div><div><br></div><div>4 Jets, wakes and cavities 163</div><div>4.1 Free streamlines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163</div>4.2 Flow past a step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167<div>4.3 Complex potential and speed plane . . . . . . . . . . . . . . . . 169</div><div>4.4 Outflow from an orifice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170</div><div>4.5 A simple wake model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175</div><div>4.6 Riabouchinsky cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181</div><div>4.7 Levi-Civita method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185</div><div>4.8 Kolscher’s cusped cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188</div><div>4.9 Re-entrant jet cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197</div><div>4.10 Tilted wedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198</div><div>4.11 Weinstein theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205</div><div><br></div><div>5 Kelvin-Helmholtz instability 211</div><div>5.1 Kelvin-Helmholtz circulation theorem . . . . . . . . . . . . . . 211</div><div>5.2 Bjerknes circulation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217</div><div>5.3 Kelvin-Helmholtz instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220</div><div>5.4 Vortex chain perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222</div><div>5.5 Vortex accumulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226</div><div>5.6 Linear stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230</div><div>5.7 Birkhoff-Rott equation for vortex sheets . . . . . . . . . . . . . 235</div><div>5.8 Curvature singularity in evolving vortex sheet . . . . . . . . . 239</div><div>5.9 Subsequent work on Moore’s singularity . . . . . . . . . . . . 254</div><div>5.10 Nonlinear stages of K-H instability . . . . . . . . . . . . . . . . 257</div><div>5.11 Why do large eddies occur in fast flows? . . . . . . . . . . . . . 259</div><div>5.12 Atmospheric instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262</div><div>5.13 Rayleigh inflexion theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264</div><div>5.14 Kinematics of vortex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266</div><div>5.15 Curvature and torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269</div><div>5.16 Helical line vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271</div><div>5.17 Knotted and linked vortex rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274</div><div>5.18 Clebsch coordinates and knottedness . . . . . . . . . . . . . . . 278</div><div><br></div><div>6 Kinematics of waves 279</div><div>6.1 Wave basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280</div><div>6.2 Group speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281</div><div>6.3 Kinematic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286</div><div>6.4 The wavefront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287</div><div>6.5 Waves and instability from a radiative force . . . . . . . . . . 289</div><div><br></div><div>7 Shallow water waves 299</div><div>7.1 Continuity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300</div>7.2 Euler equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303<div>7.3 Wave equation for linear water waves . . . . . . . . . . . . . . 304</div><div>7.4 Tides in canals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307</div><div>7.5 Cotidal lines and amphidromic points . . . . . . . . . . . . . . 312</div><div>7.6 Waves of finite amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317</div><div>7.7 Nonlinear tides in an estuary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321</div><div>7.8 Similarity solution: dam break . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329</div><div>7.9 Non-breaking waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334</div><div>7.10 Bores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340</div><div>7.11 Poincaré and Kelvin waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348</div><div>7.12 Wave behind a barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353</div><div><br></div><div>8 Free surface waves 373</div><div>8.1 Dispersion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374</div><div>8.2 Sudden impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377</div><div>8.3 Refraction and breaking at a coast . . . . . . . . . . . . . . . . 383</div><div>8.4 Waves in a non-uniform stream . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392</div>8.5 Stokes wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402<div>8.6 Stokes singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409</div><div>8.7 Crapper wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416</div><div><br></div><div>9 Existence proof for weakly nonlinear water waves 427</div><div>9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427</div><div>9.2 Boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429</div><div>9.3 Linear integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430</div><div>9.4 Schmidt’s nonlinear integral equation . . . . . . . . . . . . . . 441</div><div>9.5 General nonlinear integral equations . . . . . . . . . . . . . . 447</div><div>9.6 Integral equations for nonlinear waves . . . . . . . . . . . . . 449</div><div><br></div>10 Sound and internal gravity waves 463<div>10.1 Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463</div><div>10.2 Acoustic cutoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466</div><div>10.3 Schwarzschild criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470</div><div>10.4 Gravo-acoustic waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473</div><div><br></div>11 Supersonic flow and shocks 479<div>11.1 Shock kinematics and entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479</div><div>11.2 Jump conditions at shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484</div><div>11.3 Shock speed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491</div><div>11.4 Shock entropy and supersonic inflow . . . . . . . . . . . . . . . 492</div><div>11.5 Laval nozzle and solar wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493</div><div>11.6 Supersonic spots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499</div><div>11.7 Solar wind exhibiting a shock pair . . . . . . . . . . . . . . . . 509</div><div>11.8 Riemann sheets for the Burgers equation . . . . . . . . . . . . 514</div><div>11.9 Characteristics for first-order equations . . . . . . . . . . . . . 520</div><div>11.10Characteristics for second-order equations . . . . . . . . . . . 527</div>11.11Derivatives on characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529<div>11.12Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533</div><div><br></div><div>A Analytic and meromorphic functions 541</div>